adsense
Câu hỏi:
Cho ba số phức \({z_1},\;{z_2},\;{z_3}\)đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = a\). Đặt \(S = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\left| {{z_2} – {z_3}} \right| + \left| {{z_2} – {z_3}} \right|\left| {{z_3} – {z_1}} \right| + \left| {{z_3} – {z_1}} \right|\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(S\)là
A. \(4{a^2}\).
B. \(9{a^2}\).
C. \(\frac{9}{4}{a^2}\).
D. \({a^2}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(A,B,C\)lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\).
Có \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = a\)nên tam giác \(ABC\)nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính \(R = a\).
Cách 1:
\(S = AB.BC + BC.CA + CA.AB = 4{R^2}\left( {\sin C\sin A + \sin A\sin B + \sin B\sin C} \right)\)
\( = 2R\left( {\cos \left( {C – A} \right) – cos\left( {C + A} \right) + cos(A – B) – cos\left( {A + B} \right) + cos(B – C) – cos\left( {B + C} \right)} \right)\)
\( \le 2{R^2}(3 + \cos B + \cos C + \cos A)\).
Lại có: \(\cos A + \cos B + \cos C = \cos A + 2\cos \frac{{B + C}}{2}\cos \frac{{B – C}}{2}\)
\( = – 2{\left( {\sin \frac{A}{2} – \frac{1}{2}\cos \frac{{B – C}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2}{\cos ^2}\frac{{B – C}}{2} + 1 \le \frac{3}{2}\).
\( \Rightarrow S \le 2{a^2}\left( {3 + \frac{3}{2}} \right) = 9{a^2};\;\;S = 9{a^2} \Leftrightarrow A = B = C \Leftrightarrow \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \left| {{z_2} – {z_3}} \right| = \left| {{z_3} – {z_1}} \right|\).
Cách 2:
Cho ba số phức \({z_1},\;{z_2},\;{z_3}\)đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = a\). Đặt \(S = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\left| {{z_2} – {z_3}} \right| + \left| {{z_2} – {z_3}} \right|\left| {{z_3} – {z_1}} \right| + \left| {{z_3} – {z_1}} \right|\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(S\)là
Đăng ngày: Biên tập: Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Cực trị Số phức, Trắc nghiệm Số phức
Trả lời