Cho ba số phức \({z_1},\;{z_2},\;{z_3}\)đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = a\). Đặt \(S = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\left| {{z_2} – {z_3}} \right| + \left| {{z_2} – {z_3}} \right|\left| {{z_3} – {z_1}} \right| + \left| {{z_3} – {z_1}} \right|\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(S\)là

Câu hỏi: Cho ba số phức \({z_1},\;{z_2},\;{z_3}\)đôi một khác nhau thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = a\). Đặt \(S = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\left| {{z_2} – {z_3}} \right| + \left| {{z_2} – {z_3}} \right|\left| {{z_3} – {z_1}} \right| + \left| {{z_3} – {z_1}} \right|\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(S\)là A. \(4{a^2}\).  B. \(9{a^2}\).  C. \(\frac{9}{4}{a^2}\).  D. \({a^2}\). LỜI GIẢI CHI TIẾT Gọi \(A,B,C\)lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\). Có \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = a\)nên tam giác \(ABC\)nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính \(R = a\). Cách 1: \(S = AB.BC + BC.CA + CA.AB = 4{R^2}\left( {\sin C\sin A + \sin A\sin B + \sin B\sin C} \right)\) \( = 2R\left( {\cos \left( {C – A} \right) – cos\left( {C + A} \right) + cos(A – B) – cos\left( {A + B} \right) + cos(B – C) – cos\left( {B + C} \right)} \right)\) \( \le 2{R^2}(3 + \cos B + \cos C + \cos A)\). Lại có: \(\cos A + \cos B + \cos C = \cos A + 2\cos \frac{{B + C}}{2}\cos \frac{{B – C}}{2}\) \( =  – 2{\left( {\sin \frac{A}{2} – \frac{1}{2}\cos \frac{{B – C}}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2}{\cos ^2}\frac{{B – C}}{2} + 1 \le \frac{3}{2}\). \( \Rightarrow S \le 2{a^2}\left( {3 + \frac{3}{2}} \right) = 9{a^2};\;\;S = 9{a^2} \Leftrightarrow A = B = C \Leftrightarrow \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \left| {{z_2} – {z_3}} \right| = \left| {{z_3} – {z_1}} \right|\). Cách 2:

\(S = AB.BC + BC.CA + CA.AB \le A{B^2} + B{C^2} + C{A^2}\). Đặt \(\widehat {AOB} = 2\alpha ,\;\widehat {BOC} = 2\beta ,\;\widehat {COA} = 2\varphi \), ta có \(0 < \alpha ,\beta ,\varphi  < {180^0},\alpha  + \beta  + \varphi  = {180^0}\;\). Áp dụng định lý cosin trong tam giác, ta có: \(A{B^2} + B{C^2} + C{A^2} = 6{a^2} – 2{a^2}\left( {\cos 2\alpha  + \cos 2\beta  + \cos 2\varphi } \right)\). \(\cos 2\alpha  + \cos 2\beta  + \cos 2\varphi  = 2{\cos ^2}\alpha  – 1 – 2\cos \alpha \cos \left( {\beta  – \varphi } \right)\)\( = 2{\left[ {\cos \alpha  – \frac{1}{2}\cos \left( {\beta  – \varphi } \right)} \right]^2} – \left[ {\frac{1}{2}{{\cos }^2}\left( {\beta  – \varphi } \right) + 1} \right] \ge  – \frac{3}{2}\) Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos \left( {\beta  – \varphi } \right) = 1\\\cos \alpha  = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \alpha  = \beta  = \varphi  = {60^0}\) Vậy giá trị lớn nhất của \(S\)là \(6{a^2} + 2{a^2}.\frac{3}{2} = 9{a^2}\). ======= Lý thuyết KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)). Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\) Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ. Độ dài của vectơ OM  là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\) Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)

Một số tính chất cần lưu ý của số phức

Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\) Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0). Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo. Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức. Ta có: ​\(\left| \right| = \left| z \right|\). \(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực. \(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.