Câu hỏi:
Cho \(2\) số phức \(z\), \(w\) thõa mãn \(\left| {z + w} \right| = 2\sqrt 5 \); \(w = \left( {1 + i} \right)z – 3 – 4i\). Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P = {\left| {z – 2i} \right|^2} – {\left| {z – 2 + i} \right|^2}\). Tính \(T = M + m\).
A. \(8\sqrt {13} \).
B. \(2 + 4\sqrt {13} \).
C. \(3 + 4\sqrt {13} \).
D. \(2\).
Lời giải
Gọi \(z = x + yi\); \(x,y \in \mathbb{R}\).\(\)\(\)\(\)
\(A\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \(z\). \(\)\(\)\(\)\(\)
Ta có:\(\)\(\)
\(\left| {z + w} \right| = 2\sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow \left| {\left( {2 + i} \right)z – 3 – 4i} \right| = 2\sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow \left| {z – 2 – i} \right| = 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 4\)
Suy ra \(A\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2;1} \right)\) và có bán kính \(R = 2\).
\(P = {\left| {z – 2i} \right|^2} – {\left| {z – 2 + i} \right|^2} = {\left| {x + (y – 2)i} \right|^2} – {\left| {x – 2 + (y + 1)i} \right|^2} = 4x – 6y – 1\)\( \Leftrightarrow 4x – 6y – 1 – P = 0\).
Suy ra \(A\) thuộc đường thẳng \(d:4x – 6y – 1 – P = 0\).
Tồn tại số phức \(z \Leftrightarrow \) đường thẳng \(d\) và đường tròn \(\left( C \right)\) có điểm chung
\( \Leftrightarrow d(I;d) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.2 – 6.1 – 1 – P} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {6^2}} }} \le 2 \Leftrightarrow \left| {1 – P} \right| \le 4\sqrt {13} \Leftrightarrow – 4\sqrt {13} \le 1 – P \le 4\sqrt {13} \)
\( \Leftrightarrow 1 – 4\sqrt {13} \le P \le 1 + 4\sqrt {13} \Rightarrow M = 1 + 4\sqrt {13} ;m = 1 – 4\sqrt {13} \)\( \Rightarrow T = M + m = 2\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời