Biết \(I = \int\limits_1^5 {\frac{{2\left| {x – 2} \right| + 1}}{x}{\rm{d}}x}  = 4 + a\ln 2 + b\ln 5\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(S = a + b\).

DẠNG TOÁN 41 TÍCH PHÂN HÀM ẨN – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021

 

Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT

ĐỀ BÀI:

Biết \(I = \int\limits_1^5 {\frac{{2\left| {x – 2} \right| + 1}}{x}{\rm{d}}x}  = 4 + a\ln 2 + b\ln 5\) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tính \(S = a + b\).

A.\(S = 9\).

B. \(S = 11\).

C. \(S =  – 3\).

D. \(S = 5\).

GY::

Ta có \(\left| {x – 2} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x – 2{\rm{ khi }}x \ge 2\\2 – x{\rm{ khi }}x \le 2\end{array} \right.\).

Do đó \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{2\left| {x – 2} \right| + 1}}{x}} {\rm{ d}}x + \int\limits_2^5 {\frac{{2\left| {x – 2} \right| + 1}}{x}{\rm{ }}} {\rm{d}}x\).

\( = \int\limits_1^2 {\frac{{2\left( {2 – x} \right) + 1}}{x}} {\rm{ d}}x + \int\limits_2^5 {\frac{{2\left( {x – 2} \right) + 1}}{x}{\rm{ }}} {\rm{d}}x\)\( = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{5}{x} – 2} \right)} {\rm{ d}}x + \int\limits_2^5 {\left( {2 – \frac{3}{x}} \right){\rm{ }}} {\rm{d}}x\)

\( = \left( {5\ln \left| x \right| – 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array} + } \right.\left( {2x – 3\ln \left| x \right|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5\\2\end{array}} \right.\)\( = 4 + 8\ln 2 – 3\ln 5\).

\( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b =  – 3\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \)\(S = a + b = 5\).