Đề bài: Chứng minh bất dẳng thức:a) $\sin ^{4}x+\cos ^{8}x\leq 1 b) \sin^{10}x+\cos^{11}x \leq \ 1$ c)$(1+x)^{n}+(1-x)^{n} \leq 2^{n}; (|x|\leq 1), n \geq 1$ Lời giải Đề bài: Chứng minh bất dẳng thức:a) $\sin ^{4}x+\cos ^{8}x\leq 1 b) \sin^{10}x+\cos^{11}x \leq \ 1$ c)$(1+x)^{n}+(1-x)^{n} \leq 2^{n}; (|x|\leq 1), n \geq 1$ Lời giải Hướng […]
Bất đẳng thức - Bài tập tự luận
Đề bài: Cho : $y = \sqrt {a\cos^2 {x} + b\sin^2 {x} + c} + \sqrt {a\sin^2 {x} + b\cos^2 {x} + c} + m\sin x\cos x$a) Tìm điều kiện của $a, b, c$ để $y$ có nghĩa với $\forall x$.b) Với điều kiện ấy hãy tìm $max \,y$, biện luận theo $m$
Đề bài: Cho : $y = \sqrt {a\cos^2 {x} + b\sin^2 {x} + c} + \sqrt {a\sin^2 {x} + b\cos^2 {x} + c} + m\sin x\cos x$a) Tìm điều kiện của $a, b, c$ để $y$ có nghĩa với $\forall x$.b) Với điều kiện ấy hãy tìm $max \,y$, biện luận theo $m$ Lời giải […]
Đề bài: Chứng minh rằng:$-\frac{1}{4}\leq \frac{(a^{2}-b^{2})(1-a^{2}b^{2})}{[(1+a^{2})(1+b^{2})]^{2}}\leq \frac{1}{4}$
Đề bài: Chứng minh rằng:$-\frac{1}{4}\leq \frac{(a^{2}-b^{2})(1-a^{2}b^{2})}{[(1+a^{2})(1+b^{2})]^{2}}\leq \frac{1}{4}$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:$-\frac{1}{4}\leq \frac{(a^{2}-b^{2})(1-a^{2}b^{2})}{[(1+a^{2})(1+b^{2})]^{2}}\leq \frac{1}{4}$ Lời giải Đặt:$\begin{cases}a=\tan \alpha \\ b=\tan \beta \end{cases}(\alpha,\beta \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}))$Suy ra:$\frac{(a^{2}-b^{2})(1-a^{2}b^{2})}{[(1+a^{2})(1+b^{2})]^{2}}=\frac{(\tan^{2} \alpha-\tan^{2} \beta)(1-\tan^{2} \alpha.\tan^{2} \beta)}{[(1+\tan^{2} \alpha)(1+\tan^{2} \beta)]^{2}}$$=\frac{(\sin^{2}\alpha.\cos^{2}\beta-\sin^{2}\beta.\cos^{2}\alpha)(\cos^{2}\alpha.\cos^{2}\beta-\sin^{2}\alpha.\sin^{2}\beta)}{(\cos\alpha.\cos\beta)^{4}.\frac{1}{(\cos\alpha.\cos\beta)^{4}}}$$=\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta).\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$$=\frac{1}{4}\sin(2\alpha+2\beta).\cos(2\alpha+2\beta) \in [-\frac{1}{4},\frac{1}{4}]$$\Rightarrow $(ĐPCM) ========= Chuyên mục: Các dạng bất đẳng thức khác
Đề bài: Chứng minh rằng:$\sqrt[n]{2}\leq \sqrt[n]{1-x}+ \sqrt[n]{1+x}, \forall |x| \leq 1,n \in Z,n\geq 2$
Đề bài: Chứng minh rằng:$\sqrt[n]{2}\leq \sqrt[n]{1-x}+ \sqrt[n]{1+x}, \forall |x| \leq 1,n \in Z,n\geq 2$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng:$\sqrt[n]{2}\leq \sqrt[n]{1-x}+ \sqrt[n]{1+x}, \forall |x| \leq 1,n \in Z,n\geq 2$ Lời giải $|x|\leq 1 \Rightarrow$ Đặt: $x=\cos 2\alpha,\alpha \in [0,\frac{\pi}{2}]$$\Rightarrow \sqrt[n]{1-x}+ \sqrt[n]{1+x}=\sqrt[n]{2\sin^{2}\alpha}+ \sqrt[n]{2\cos^{2}\alpha}$$=\sqrt[n]{2}(\sin^{\frac{2}{n}}\alpha+\cos^{\frac{2}{n}}\alpha)$ […]
Đề bài: Chứng minh rằng: $\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}} \geq \frac{x}{\sqrt{2}}.(1+2\sqrt{1-x^{2}}),\forall x \in [-1,1]$
Đề bài: Chứng minh rằng: $\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}} \geq \frac{x}{\sqrt{2}}.(1+2\sqrt{1-x^{2}}),\forall x \in [-1,1]$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng: $\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}} \geq \frac{x}{\sqrt{2}}.(1+2\sqrt{1-x^{2}}),\forall x \in [-1,1]$ Lời giải Đặt: $x=\sin 2\alpha,\alpha \in [-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$Suy ra:$\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}=\sqrt{1+\cos 2\alpha}=\sqrt{2}\cos \alpha (1)$( do $\alpha\in[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}]\Rightarrow cos2\alpha\geq 0\Rightarrow\sqrt{1-x^2}=cos2\alpha$)$\frac{x}{\sqrt{2}}.(1+2\sqrt{1-x^{2}})=\frac{\sin 2\alpha(1+2\cos 2\alpha)}{\sqrt{2}}$$=\frac{(\sin 2\alpha+\sin 4\alpha)}{\sqrt{2}}$$=\frac{2\cos \alpha.\sin 3\alpha}{\sqrt{2}}$ […]
Đề bài: Cho $n \in Z,n \geq 1,a,b \geq 0$.Hãy chứng minh: $\frac{a^{n}+b^{n}}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^{n}$Hãy tổng quát hóa bài toán trên.
Đề bài: Cho $n \in Z,n \geq 1,a,b \geq 0$.Hãy chứng minh: $\frac{a^{n}+b^{n}}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^{n}$Hãy tổng quát hóa bài toán trên. Lời giải Đề bài: Cho $n \in Z,n \geq 1,a,b \geq 0$.Hãy chứng minh: $\frac{a^{n}+b^{n}}{2} \geq (\frac{a+b}{2})^{n}$Hãy tổng quát hóa bài toán trên. Lời giải $a)*n=1$:BĐT luôn đúng*$n=k \in N(k\geq2):$ giả sử BĐT đúng,tức […]
Đề bài: Chứng minh rằng với $a$ là số thực không âm thì: $\sqrt{a}+\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{a}\leq a+2 (1)$
Đề bài: Chứng minh rằng với $a$ là số thực không âm thì: $\sqrt{a}+\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{a}\leq a+2 (1)$ Lời giải Đề bài: Chứng minh rằng với $a$ là số thực không âm thì: $\sqrt{a}+\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{a}\leq a+2 (1)$ Lời giải Đặt $u=\sqrt[6]{6}, u\geq 0.$Từ đó ta có:$(1)\Leftrightarrow u^3+u^2+u\leq u^6+2\Leftrightarrow A=u^6-u^3-u^2-u+2\geq 0.$Xét:$A=u^6-u^3-u^2-u+2=(u^6-2u^3+1)+u(u^2-2u+1)+(u^2-2u+1)$ \(=(u^3-1)^2+u(u-1)^2+(u-1)^2\)Vì $u\geq 0$ nên mỗi số hạng của […]
Đề bài: Cho $0\leq a,b,c,d\leq 1$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{bcd+1}+\frac{b}{cda+1}+\frac{c}{dab+1}+\frac{d}{abc+1}\leq 3$
Đề bài: Cho $0\leq a,b,c,d\leq 1$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{bcd+1}+\frac{b}{cda+1}+\frac{c}{dab+1}+\frac{d}{abc+1}\leq 3$ Lời giải Đề bài: Cho $0\leq a,b,c,d\leq 1$.Chứng minh rằng:$\frac{a}{bcd+1}+\frac{b}{cda+1}+\frac{c}{dab+1}+\frac{d}{abc+1}\leq 3$ Lời giải Ta có: $\left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )+\left ( 1-c \right )\left ( 1-d \right )+\left ( 1-ab \right )\left ( 1-cd \right )\geq 0$$\Rightarrow 1-\left ( a+b \right )+ab+1-\left […]
Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{m_a.m_b.m_c}}{{m_a^2 + m_b^2 + m_c^2}} \ge r$
Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{m_a.m_b.m_c}}{{m_a^2 + m_b^2 + m_c^2}} \ge r$ Lời giải Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng : $\frac{{m_a.m_b.m_c}}{{m_a^2 + m_b^2 + m_c^2}} \ge r$ Lời giải Đặt ${S_m}$ là diện tích tam giác với ba cạnh là ${m_a},{m_b},{m_c}$. Ta có: ${S_m} = \frac{3}{4}S$. […]
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $sinA+sinC=3sinB$ CMR ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3}$
Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $sinA+sinC=3sinB$ CMR ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3}$ Lời giải Đề bài: Cho tam giác $ABC$ thỏa mãn: $sinA+sinC=3sinB$ CMR ${\sin ^2}\frac{A}{2} + {\sin ^2}\frac{C}{2} \ge \frac{2}{3}$ Lời giải Từ giả thiết và theo định lý hàm số sin, ta có: $a + c = 3b […]