Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức hàm số $f(x)=|\sqrt{x^2-2x+5}-\sqrt{x^2-12x+136}|$ Lời giải Để ý $\begin{cases}x^2-2x+5=(x-1)^2+4 \geq 4, \forall x \in R \\ x^2-12x+136=(6-x)^2+100, \forall x \in R \end{cases}$do vậy hàm số xác định với $\forall x \in R$* Xét các vectơ : $\overrightarrow a=(x-1;-2), \overrightarrow b(6-x;10)$. Ta có $|\overrightarrow a|=\sqrt{x^2-2x+5}$ $|\overrightarrow b|=\sqrt{x^2-12x+136}, […]
Bài tập Hàm số
Đề: Chứng minh: $f(x)=a.\cos4x+b.\cos3x+c.\cos2x+d.\cos x=0$ luôn có nghiệm $ \in ( {0;\pi })$
Đề bài: Chứng minh: $f(x)=a.\cos4x+b.\cos3x+c.\cos2x+d.\cos x=0$ luôn có nghiệm $ \in ( {0;\pi })$ Lời giải Xét một guyên hàm $F\left( x \right)$ của $f\left( x \right)$: $F\left( x \right) = \frac{a}{4}\sin 4{\rm{x}} + \frac{b}{3}\sin 3{\rm{x}} + \frac{c}{2}\sin 2{\rm{x}} + d{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}$Thấy ngay $x = 0,x = \pi $ là nghiệm của $F\left( […]
Đề: Tìm điều kiện xác định của biểu thức:$a) 3x \sqrt{1-3x}+5x^2 \sqrt{7x+2} b) \frac{3x-1}{\sqrt{12-3x} }+ \frac{\sqrt{5x+1} }{x-1} $$c) \frac{1}{\sqrt{2x+2} }+ \frac{\sqrt{x^2+1} }{3x-3}+\frac{\sqrt{2x-1} }{x+7}. $
Đề bài: Tìm điều kiện xác định của biểu thức:$a) 3x \sqrt{1-3x}+5x^2 \sqrt{7x+2} b) \frac{3x-1}{\sqrt{12-3x} }+ \frac{\sqrt{5x+1} }{x-1} $$c) \frac{1}{\sqrt{2x+2} }+ \frac{\sqrt{x^2+1} }{3x-3}+\frac{\sqrt{2x-1} }{x+7}. $ Lời giải a) Điều kiện :$\begin{cases}1-3x \ge 0 \\ 7x+2 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow -\frac{2}{7} \leq x \leq \frac{1}{3} $. b) Điều kiện :$\begin{cases}12-3x \ge 0 \\ 12-3x \ne 0 […]
Đề: $1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y = x – \frac{1}{{x + 1}}$$2$. Chứng tỏ rằng đồ thị này nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.$3$. Tìm tất cả các cặp điểm trên đồ thị của hàm số mà các tiếp tuyến tại đó song song với nhau.
Đề bài: $1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y = x – \frac{1}{{x + 1}}$$2$. Chứng tỏ rằng đồ thị này nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.$3$. Tìm tất cả các cặp điểm trên đồ thị của hàm số mà các tiếp […]
Đề: Dùng định nghĩa để tìm khoảng tăng giảm của hàm số: \(f(x)=-x^{2}+4x-1\)
Đề bài: Dùng định nghĩa để tìm khoảng tăng giảm của hàm số: \(f(x)=-x^{2}+4x-1\) Lời giải Miền xác định:\(D=R\)\(\forall x_{1},x_{2} \in R\) và \(x_{1}\leq x_{2}\). Ta có:\(f(x_{1})-f(x_{2})=(-x_{1}^{2}+4x_{1}-1)-(-x_{2}^{2}+4x_{2}-1)\) \(=(x_{2}^{2}-x_{1}^{2})+4(x_{1}-x_{2})=(x_{2}-x_{1})(x_{1}+x_{2}-4)\)_Vì \(x_{1}\leq x_{2}\Rightarrow x_{1}+x_{2}-4Vậy \(f(x_{1})-f(x_{2})=(x_{2}-x_{1})(x_{1}+x_{2}-4)Do […]
Đề: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $F=\frac{a}{bcd+1}+\frac{b}{cda+1}+\frac{c}{bda+1}+\frac{d}{bca+1}$với $a,b,c,d \in [0,1]$
Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $F=\frac{a}{bcd+1}+\frac{b}{cda+1}+\frac{c}{bda+1}+\frac{d}{bca+1}$với $a,b,c,d \in [0,1]$ Lời giải Do $a,b,c,d\in [0,1]$ nên: $F\leq \frac{a}{abcd+1}+\frac{b}{cdab+1}+\frac{c}{abcd+1}+\frac{d}{abcd+1}=\frac{a+b+c+d}{abcd+1 } (1)$Mặt khác từ $a,b,c,d\in [0,1]$ ta còn có: $a+b\leq 1+ab$ $c+d\leq 1+cd$ $ab+cd\leq 1+abcd$.Cộng ba bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta được: $a+b+c+d\leq 3+abcd (2)$Từ $(1), (2)$ suy ra : […]
Đề: Cho $f(x)=2\cos^2(3x-2)$. Tìm tập hợp giá trị của $f''(x)$
Đề bài: Cho $f(x)=2\cos^2(3x-2)$. Tìm tập hợp giá trị của $f''(x)$ Lời giải Cho $f(x)=2\cos^2(3x-2)$.Để tìm tập giá trị của $f”(x)$, ta tìm: $f'(x)=-2.2.3. \cos (3x-2) \sin(3x-2)=-6 \sin (6x-4) $ $f”(x)=-6 \cos (6x-4)$Vậy tập giá trị của $f”(x)$ là $\left[ {-6;6} \right] $.
Đề: Gọi $(P)$ là parabol có phương trình $y = ax^2 + bx + c$ và luôn luôn tiếp xúc với đường thẳng $y = 2x + 1$ tại điểm $A(1,3)$.a) Hãy biểu diễn $b, c$ qua $a$.b) Tìm quỹ tích đỉnh của $(P)$ khi $a$ thay đổi.c) Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà $(P)$ không thể đi qua
Đề bài: Gọi $(P)$ là parabol có phương trình $y = ax^2 + bx + c$ và luôn luôn tiếp xúc với đường thẳng $y = 2x + 1$ tại điểm $A(1,3)$.a) Hãy biểu diễn $b, c$ qua $a$.b) Tìm quỹ tích đỉnh của $(P)$ khi $a$ thay đổi.c) Tìm các điểm trên mặt phẳng […]
Đề: 1) Giả sử $a,b,c \in [0,2]$ và $a + b + c = 3$. Chứng minh: $a^2 + b^2 + c^2\le 5$2) Giả sử $a,b,c \in [ – 1,2]$ và $a + b + c = 0$ . Tìm $maxA = a^2+b^2+c^2$
Đề bài: 1) Giả sử $a,b,c \in [0,2]$ và $a + b + c = 3$. Chứng minh: $a^2 + b^2 + c^2\le 5$2) Giả sử $a,b,c \in [ – 1,2]$ và $a + b + c = 0$ . Tìm $maxA = a^2+b^2+c^2$ Lời giải 1) Cách 1 . Đặt $a – 1 = […]
Đề: Cho tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=\sqrt{3}\cos 2A+2\cos2B+2\sqrt{3}\cos2C$
Đề bài: Cho tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=\sqrt{3}\cos 2A+2\cos2B+2\sqrt{3}\cos2C$ Lời giải Viết lại $Q=2\sqrt{3}\cos2C+\sqrt{3}\cos2A+2\cos2B$ $=2xy\cos2C+2yz\cos2A+2zx\cos2B$ (2)$\Rightarrow \begin{cases}2xy=2\sqrt{3} \\ 2yz=\sqrt{3} \\ 2xz=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\sqrt{2} \\ y=\sqrt{\frac{3}{2}} \\ z=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x^2=2 \\ y^2=\frac{3}{2} \\ z=\frac{1}{2} \end{cases}$. Theo $(2): Q \geq -(x^2+y^2+z^2)=-4$Dâu đẳng thức có khi và chỉ […]