Đề: Gọi $(P)$ là parabol có phương trình $y = ax^2 + bx + c$ và luôn luôn tiếp xúc với đường thẳng $y = 2x + 1$ tại điểm $A(1,3)$.a) Hãy biểu diễn $b, c$ qua $a$.b) Tìm quỹ tích đỉnh của $(P)$ khi $a$ thay đổi.c) Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà $(P)$ không thể đi qua

Đề bài: Gọi $(P)$ là parabol có phương trình $y = ax^2 + bx + c$ và luôn luôn tiếp xúc với đường thẳng $y = 2x + 1$ tại điểm $A(1,3)$.a) Hãy biểu diễn $b, c$ qua $a$.b) Tìm quỹ tích đỉnh của $(P)$ khi $a$ thay đổi.c) Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà $(P)$ không thể đi qua

Lời giải

a) Ta có $y’ = 2ax + b$, do đó
    $2 = y'(1) = 2a + b \Rightarrow b = 2 – 2a$;
    $3 = y(1) = a + b + c \Rightarrow c = 3 – a – b = 1 + a$

b) Viết lại phương trình parabol $(P)$ theo $a$:
    $y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + (2 – 2a)x + 1 + a$           $(1)$
Đỉnh của $(P)$ có tọa độ:
    $x = – \frac{{2 – 2a}}{{2a}} = 1 – \frac{1}{a}$.
    $y = – \frac{{\Delta ‘}}{a} = \frac{{3a – 1}}{a} = 3 – \frac{1}{a}{\rm{ (a}} \ne 0)$.
Khử $a$ ta được $y = x + 2$. Vì ($a \ne 0$) nên $x \ne 1$ suy ra quỹ tích đỉnh parabol $(P)$ là đường thẳng $y = x + 2$ bỏ đi điểm $A(1,3)$.

c) $(1)$ $ \Leftrightarrow a({x^2} – 2x + 1) = y – 2x – 1 \Leftrightarrow a{(x – 1)^2} = y – 2x – 1$
•    $x = 1 \Rightarrow y = 3$
•    $x \ne 1:a = \frac{{y – 2x – 1}}{{{{(x – 1)}^2}}}$
Từ đó suy ra quỹ tích các điểm mà $(P)$ không thể đi qua:
đường thẳng $x = 1$ bỏ điểm $(1 , 3)$; (Do $a \ne 0) \Rightarrow $ đường thẳng $y = 2x + 1$ bỏ đi điểm $(1 , 3)$