Đề bài: Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm $A(3 , 0)$ và parabol $(P)$ có phương trình $y = {x^2}$.a) $M$ là một điểm thuộc parabol $(P)$, có hoành độ ${x_M} = a$. Tính độ dài đoạn $AM$, xác định $a$ để $AM$ ngắn nhất.b) Chứng tỏ rằng nếu đoạn $AM$ ngắn nhất, thì $AM$ vuông góc với tiếp tuyến tại $M$ của parabol $(P)$
Lời giải
a) ${x_M} = a \Rightarrow {y_M} = {a^2}$. Do đó
$A{M^2} = {({x_M} – {x_A})^2} + {({y_M} – {y_A})^2} = {(a – 3)^2} + {a^4} = f(a)$.
Ta có $f'(a) = 2(a – 3) + 4{a^3} = 2(a – 1)(2{a^2} + 2a + 3)$.
và $2{a^2} + 2a + 3 > 0,{\rm{ }}\forall {\rm{a}} \Rightarrow {\rm{f}}'(a) = 0 \Leftrightarrow a = 1$
$ \Rightarrow {\mathop{\rm m}\nolimits} {\rm{inf}}(a) = f(1) = 5 \Rightarrow \min {\rm{ AM = }}\sqrt 5 $,
Dấu = đạt được khi $a = 1$, tức là $M$ có tọa độ $(1, 1)$.
b) Đường thẳng $AM$ có hệ số góc $k$:
$k = \frac{{{y_M} – {y_A}}}{{{x_M} – {x_A}}} = \frac{{1 – 0}}{{1 – 3}} = – \frac{1}{2}$
Ta lại có $y’ = 2x$, do đó tiếp tuyến của $(P)$ tại $M$ có hệ số góc $k’$: $k’ = 2.1 = 2 \Rightarrow k.k’ = ( – 1/2).2 = – 1 $
$\Rightarrow AM$ vuông góc với tiếp tuyến của $(P)$ tại $M$
Trả lời