Đề: $1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y = x – \frac{1}{{x + 1}}$$2$. Chứng tỏ rằng đồ thị này nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.$3$. Tìm tất cả các cặp điểm trên đồ thị của hàm số mà các tiếp tuyến tại đó song song với nhau.

Đề bài: $1$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: $y = x – \frac{1}{{x + 1}}$$2$. Chứng tỏ rằng đồ thị này nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.$3$. Tìm tất cả các cặp điểm trên đồ thị của hàm số mà các tiếp tuyến tại đó song song với nhau.

Lời giải

$1.$ Xin dành cho bạn đọc. .
$2.$ Gọi $G$ là giao diểm $2$ tiệm cận thì $G(-1,-1)$.  Đặt $x=X-1,y=Y-1$ rồi thay vào $y=x-\frac{1}{x+1} $, ta được $Y=\frac{x^2-1}{x} $.Trong hệ tọa độ $GXY$ thì đường cong $(H)$(đồ thị vẽ ở $1$) có phương trình $Y=\frac{x^2-1}{x} $ là một hàm lẻ nên $(H)$ nhận gốc $G$ làm tâm đối xứng. 
$3.$ Gọi $M_1(x_1,y_1)$ và $M_2(x_2,y_2)$ là hai điểm bất kì trên đồ thị của hàm số
$y=x-\frac{1}{x+1} $ và $M_1\neq  M_2.$
Các tiếp tuyến với đồ thị tại $M_1$ và $M_2$ song song khi và chỉ khi
$y^/(x_1)=Y^/(x_2)$ tức là : $1+\frac{1}{(x_1+1)^2} =1+\frac{1}{(x_2+1)^2} $
Điều này tương đương với  $(x_1-x_2)(x_1+x_2+2)=0$ tức là $x_1+x_2+2=0$ hay $x_1+x_2=-2    (x_1\neq  x_2$ do $M_1\neq  M_2)$.Như vậy $M_1$ và $M_2$ phải đối xứng với nhau qua $G$.