📌 Đề bài:
Rút gọn biểu thức lượng giác sau (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
$$P = \frac{\sin 2x + \sin x}{1 + \cos 2x + \cos x}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải các bài toán rút gọn biểu thức lượng giác chứa góc nhân đôi dạng phân thức hữu tỉ, ta thường phân tích cả tử số và mẫu số thành nhân tử chung nhờ các công thức cơ bản:
- Công thức nhân đôi của $\sin$: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$
- Công thức nhân đôi của $\cos$: $\cos 2x = 2\cos^2 x – 1 \iff 1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$
- Công thức tỉ số: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ (với $\cos x \neq 0$)
Áp dụng nhóm nhân tử chung thích hợp giữa các số hạng sẽ giúp triệt tiêu nhân tử bậc nhất ở tử và mẫu.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Điều kiện xác định: Biểu thức xác định khi $1 + \cos 2x + \cos x \ne 0$ và $\cos x \ne 0$.
Bước 1: Biến đổi tử số
Áp dụng công thức nhân đôi lượng giác $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, ta có:
$$\text{Tử số} = \sin 2x + \sin x = 2\sin x \cos x + \sin x = \sin x (2\cos x + 1)$$
Bước 2: Biến đổi mẫu số
Áp dụng công thức hạ bậc/nhân đôi $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$, ta có:
$$\text{Mẫu số} = 1 + \cos 2x + \cos x = (1 + \cos 2x) + \cos x = 2\cos^2 x + \cos x = \cos x (2\cos x + 1)$$
Bước 3: Rút gọn biểu thức $P$
Thay kết quả của tử số và mẫu số vào biểu thức $P$:
$$P = \frac{\sin x (2\cos x + 1)}{\cos x (2\cos x + 1)}$$
Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung $(2\cos x + 1)$, ta thu được:
$$P = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$$
👉 Kết luận: Biểu thức sau khi rút gọn là $P = \tan x$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Rút gọn biểu thức $A = \frac{1 + \cos 4x}{\sin 4x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Áp dụng $1 + \cos 4x = 2\cos^2 2x$ và $\sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x$:
$$A = \frac{2\cos^2 2x}{2\sin 2x \cos 2x} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = \cot 2x$$
Đáp số: $A = \cot 2x$.
Bài tập 2: Rút gọn biểu thức $B = \frac{\sin 2x – \sin x}{1 – \cos x + \cos 2x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Biến đổi tử số: $\sin 2x – \sin x = 2\sin x \cos x – \sin x = \sin x (2\cos x – 1)$.
Biến đổi mẫu số: $(1 + \cos 2x) – \cos x = 2\cos^2 x – \cos x = \cos x (2\cos x – 1)$.
Do đó: $B = \frac{\sin x(2\cos x – 1)}{\cos x(2\cos x – 1)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.
Đáp số: $B = \tan x$.
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức $C = \frac{\sin 4x}{1 + \cos 4x} \cdot \frac{\cos 2x}{1 + \cos 2x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có $\frac{\sin 4x}{1 + \cos 4x} = \frac{2\sin 2x \cos 2x}{2\cos^2 2x} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x}$.
Thay vào biểu thức: $C = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} \cdot \frac{\cos 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.
Đáp số: $C = \tan x$.
Bài tập 4: Rút gọn biểu thức $D = \frac{2\sin x – \sin 2x}{2\sin x + \sin 2x}$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Khai triển nhân tử chung $\sin x$:
$$D = \frac{2\sin x(1 – \cos x)}{2\sin x(1 + \cos x)} = \frac{1 – \cos x}{1 + \cos x} = \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{2\cos^2\frac{x}{2}} = \tan^2\frac{x}{2}$$
Đáp số: $D = \tan^2\frac{x}{2}$.
Bài tập 5: Thực hiện biến đổi biểu thức lượng giác $E = \cos^4 x – \sin^4 x + \cos 2x$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Phân tích hiệu hai bình phương: $\cos^4 x – \sin^4 x = (\cos^2 x – \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos 2x \cdot 1 = \cos 2x$.
Do đó: $E = \cos 2x + \cos 2x = 2\cos 2x$.
Đáp số: $E = 2\cos 2x$.
Để lại phản hồi