📌 Đề bài:
Cho góc lượng giác $\alpha$ thỏa mãn $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ với $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Tính các giá trị lượng giác của góc nhân đôi $\sin 2\alpha, \cos 2\alpha, \tan 2\alpha$ và giá trị của biểu thức:
$$P = \frac{\sin 2\alpha – 3\cos 2\alpha}{1 + \tan 2\alpha}$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải quyết bài toán tính giá trị lượng giác góc nhân đôi, ta áp dụng hệ thống lý thuyết chuẩn sau:
- Xác định dấu giá trị lượng giác: Sử dụng hệ thức cơ bản $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos \alpha = \pm \sqrt{1 – \sin^2 \alpha}$. Do $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ (góc phần tư thứ II) nên $\cos \alpha < 0$.
- Hệ thống công thức nhân đôi:
• $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$
• $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha = 1 – 2\sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha – 1$
• $\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 – \tan^2 \alpha} = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}$ (với điều kiện xác định) - Tương tự các bài toán về công thức lượng giác cơ bản, sau khi tìm đủ các đại lượng $\sin 2\alpha, \cos 2\alpha, \tan 2\alpha$, ta thay trực tiếp vào biểu thức $P$ để rút gọn.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Tính giá trị $\cos \alpha$ và $\tan \alpha$
Từ hằng đẳng thức lượng giác cơ bản $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, ta có:
$$\cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha = 1 – \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$
Vì $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ (cung thuộc góc phần tư thứ II) nên $\cos \alpha < 0$. Do đó:
$$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$$
Suy ra:
$$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$$
Bước 2: Áp dụng công thức nhân đôi tính $\sin 2\alpha, \cos 2\alpha, \tan 2\alpha$
• Tính $\sin 2\alpha$:
$$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25}$$
• Tính $\cos 2\alpha$:
$$\cos 2\alpha = 1 – 2\sin^2 \alpha = 1 – 2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 – \frac{18}{25} = \frac{7}{25}$$
• Tính $\tan 2\alpha$:
$$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = -\frac{24}{7}$$
Bước 3: Tính giá trị của biểu thức $P$
Thay các giá trị vừa tính vào biểu thức $P$:
• Tử số của biểu thức:
$$\text{Tử số} = \sin 2\alpha – 3\cos 2\alpha = -\frac{24}{25} – 3 \cdot \frac{7}{25} = -\frac{24 + 21}{25} = -\frac{45}{25} = -\frac{9}{5}$$
• Mẫu số của biểu thức:
$$\text{Mẫu số} = 1 + \tan 2\alpha = 1 + \left(-\frac{24}{7}\right) = 1 – \frac{24}{7} = -\frac{17}{7}$$
• Giá trị biểu thức $P$:
$$P = \frac{-\frac{9}{5}}{-\frac{17}{7}} = \left(-\frac{9}{5}\right) \cdot \left(-\frac{7}{17}\right) = \frac{63}{85}$$
Phương pháp này cũng thường xuyên được áp dụng linh hoạt trong các bài toán biến đổi nâng cao như tính giá trị biểu thức theo góc nhân đôi và công thức cộng.
👉 Kết luận / Đáp án: $P = \frac{63}{85}$
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Cho $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ với $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. Tính giá trị của biểu thức $A = \sin 2\alpha + \cos 2\alpha$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Do $0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \implies \sin \alpha > 0$. Ta có $\sin \alpha = \sqrt{1 – \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 – \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{5}{13}$.
Áp dụng công thức nhân đôi:
• $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{120}{169}$.
• $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha – 1 = 2 \cdot \frac{144}{169} – 1 = \frac{119}{169}$.
Vậy $A = \sin 2\alpha + \cos 2\alpha = \frac{120}{169} + \frac{119}{169} = \frac{239}{169}$.
Bài tập 2: Cho $\tan \alpha = 2$. Tính giá trị của biểu thức $B = \frac{\sin 2\alpha + 2\cos 2\alpha}{\cos 2\alpha – 3\sin 2\alpha}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Ta biểu diễn $\sin 2\alpha$ và $\cos 2\alpha$ theo $\tan \alpha$:
• $\sin 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{2 \cdot 2}{1 + 2^2} = \frac{4}{5}$.
• $\cos 2\alpha = \frac{1 – \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} = \frac{1 – 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}$.
Thay vào biểu thức $B$:
$$B = \frac{\frac{4}{5} + 2\left(-\frac{3}{5}\right)}{-\frac{3}{5} – 3\left(\frac{4}{5}\right)} = \frac{\frac{4 – 6}{5}}{\frac{-3 – 12}{5}} = \frac{-2}{-15} = \frac{2}{15}$$
Bài tập 3: Rút gọn biểu thức lượng giác $C = \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x}$ với các điều kiện xác định phù hợp.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Áp dụng các công thức nhân đôi:
• $\sin 2x = 2\sin x \cos x$
• $1 + \cos 2x = 1 + (2\cos^2 x – 1) = 2\cos^2 x$
Thay vào biểu thức $C$:
$$C = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$$
Bài tập 4: Cho $\sin x + \cos x = \frac{1}{2}$. Tính giá trị của biểu thức $D = \sin 2x + \cos 4x$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Bình phương hai vế của đẳng thức đã cho:
$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$
$\implies \sin 2x = \frac{1}{4} – 1 = -\frac{3}{4}$.
Áp dụng công thức nhân đôi cho $\cos 4x$:
$\cos 4x = 1 – 2\sin^2 2x = 1 – 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1 – 2 \cdot \frac{9}{16} = 1 – \frac{9}{8} = -\frac{1}{8}$.
Vậy $D = \sin 2x + \cos 4x = -\frac{3}{4} – \frac{1}{8} = -\frac{7}{8}$.
Bài tập 5: Đơn giản hóa biểu thức $E = \frac{1 – \cos 2x + \sin 2x}{1 + \cos 2x + \sin 2x}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Biến đổi tử số và mẫu số bằng công thức nhân đôi:
• Tử số: $1 – \cos 2x + \sin 2x = 2\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 2\sin x(\sin x + \cos x)$
• Mẫu số: $1 + \cos 2x + \sin 2x = 2\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 2\cos x(\cos x + \sin x)$
Chia tử cho mẫu (với điều kiện xác định):
$$E = \frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{2\cos x(\sin x + \cos x)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$$
Để lại phản hồi