Rút gọn biểu thức lượng giác $P = \frac{\cos 2x}{\cot x – \tan x}$

Bước 1: Xác định điều kiện tồn tại của biểu thức

Biểu thức $P$ có nghĩa khi và chỉ khi:
$$\begin{cases} \sin x \ne 0 \\ \cos x \ne 0 \\ \cot x – \tan x \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} \sin 2x \ne 0 \\ \frac{\cos^2 x – \sin^2 x}{\sin x \cos x} \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} \sin 2x \ne 0 \\ \cos 2x \ne 0 \end{cases} \iff \sin 4x \ne 0 \iff x \ne \frac{k\pi}{4} \; (k \in \mathbb{Z})$$

Bước 2: Biến đổi mẫu số của biểu thức

Ta xét biểu thức ở mẫu số:
$$\cot x – \tan x = \frac{\cos x}{\sin x} – \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x – \sin^2 x}{\sin x \cos x}$$

Áp dụng các công thức nhân đôi:
$$\cos^2 x – \sin^2 x = \cos 2x$$ và $$\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$$
Suy ra:
$$\cot x – \tan x = \frac{\cos 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x} = \frac{2\cos 2x}{\sin 2x} = 2\cot 2x$$

Bước 3: Thay vào biểu thức $P$ và rút gọn

Thay kết quả của mẫu số vào biểu thức $P$, ta được:
$$P = \frac{\cos 2x}{\frac{2\cos 2x}{\sin 2x}} = \cos 2x \cdot \frac{\sin 2x}{2\cos 2x} = \frac{1}{2}\sin 2x$$

👉 Kết luận: Biểu thức đã rút gọn là $P = \frac{1}{2}\sin 2x$ (hoặc $P = \sin x \cos x$).