Rút gọn biểu thức lượng giác $P = \frac{1 + \sin 2x – \cos 2x}{1 + \sin 2x + \cos 2x}$

Giả sử biểu thức $P$ xác định khi $\cos x \ne 0$ và $\sin x + \cos x \ne 0$.

Bước 1: Biến đổi tử số của biểu thức $P$:

Ta nhóm số hạng $1 – \cos 2x$ và áp dụng công thức nhân đôi:
$$\text{Tử số} = (1 – \cos 2x) + \sin 2x = 2\sin^2 x + 2\sin x \cos x$$
Đặt $2\sin x$ làm nhân tử chung, ta được:
$$\text{Tử số} = 2\sin x (\sin x + \cos x)$$

Bước 2: Biến đổi mẫu số của biểu thức $P$:

Ta nhóm số hạng $1 + \cos 2x$ và áp dụng công thức nhân đôi:
$$\text{Mẫu số} = (1 + \cos 2x) + \sin 2x = 2\cos^2 x + 2\sin x \cos x$$
Đặt $2\cos x$ làm nhân tử chung, ta được:
$$\text{Mẫu số} = 2\cos x (\cos x + \sin x)$$

Bước 3: Rút gọn phân thức:

Thay tử số và mẫu số vừa biến đổi vào biểu thức ban đầu:
$$P = \frac{2\sin x (\sin x + \cos x)}{2\cos x (\sin x + \cos x)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$$

Để củng cố thêm các kỹ năng biến đổi liên quan, bạn đọc có thể tham khảo thêm các bài toán về công thức biến đổi lượng giác nâng cao.

👉 Kết luận: Biểu thức sau khi rút gọn là $P = \tan x$.