📌 Đề bài:
Hàm số $y = \cos x$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Theo định nghĩa và tính chất của hàm số cosin $y = \cos x$ trên tập số thực $\mathbb{R}$:
- Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $T = 2\pi$.
- Trên mỗi đoạn có độ dài $2\pi$ dạng $[k2\pi; 2\pi + k2\pi]$ với $k \in \mathbb{Z}$:
- Hàm số $y = \cos x$ nghịch biến trên các khoảng $(k2\pi; \pi + k2\pi), k \in \mathbb{Z}$.
- Hàm số $y = \cos x$ đồng biến trên các khoảng $(-\pi + k2\pi; k2\pi), k \in \mathbb{Z}$ (hoặc $(\pi + k2\pi; 2\pi + k2\pi)$).
- Mẹo nhìn trên đường tròn lượng giác: Khi điểm ngọn cung di chuyển theo chiều dương từ $0$ đến $\pi$ (nửa trên đường tròn), hoành độ $\cos x$ giảm dần từ $1$ về $-1$, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; \pi)$.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Bước 1: Xét sự biến thiên của hàm số $y = \cos x$ trên đoạn cơ sở $[0; 2\pi]$.
– Khi $x$ tăng từ $0$ đến $\pi$, giá trị của $\cos x$ giảm liên tục từ $1$ về $-1$. Do đó, hàm số $y = \cos x$ nghịch biến trên khoảng $(0; \pi)$.
– Khi $x$ tăng từ $\pi$ đến $2\pi$, giá trị của $\cos x$ tăng liên tục từ $-1$ lên $1$. Do đó, hàm số $y = \cos x$ đồng biến trên khoảng $(\pi; 2\pi)$.
Bước 2: Mở rộng tính đơn điệu theo chu kì tuần hoàn $2\pi$:
– Hàm số $y = \cos x$ nghịch biến trên các khoảng $(k2\pi; \pi + k2\pi)$ với $k \in \mathbb{Z}$.
– Với $k = 0$, ta nhận được khoảng nghịch biến là $(0; \pi)$.
Bước 3: Đối chiếu với các phương án đề bài cho:
- Phương án A: $(0; \pi)$ là khoảng nghịch biến của hàm số $\rightarrow$ Đúng.
- Phương án B: $(\pi; 2\pi)$ là khoảng đồng biến $\rightarrow$ Sai.
- Phương án C: Khoảng $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ hàm số vừa đồng biến (trên $\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$) vừa nghịch biến (trên $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$) $\rightarrow$ Sai.
- Phương án D: $(-\pi; 0)$ là khoảng đồng biến $\rightarrow$ Sai.
👉 Kết luận / Đáp án: Chọn phương án A. $(0; \pi)$
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Hàm số $y = \cos x$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(0; \pi)$ B. $(-\pi; 0)$ C. $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ D. $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Đáp án: B
Bài tập 2: Hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(0; \pi)$ B. $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ C. $(0; 2\pi)$ D. $(-\pi; \pi)$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Đáp án: B
Bài tập 3: Hàm số $y = \cot x$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$ B. $(0; \pi)$ C. $(-\pi; \pi)$ D. $(0; 2\pi)$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Đáp án: B
Bài tập 4: Mệnh đề nào sau đây đúng về tính đơn điệu của hàm số $y = \cos x$ trên khoảng $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$?
A. Hàm số luôn đồng biến.
B. Hàm số luôn nghịch biến.
C. Hàm số nghịch biến trên $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ và đồng biến trên $\left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$.
D. Hàm số đồng biến trên $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ và nghịch biến trên $\left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Đáp án: C
Bài tập 5: Xét tính đơn điệu của hàm số $y = \sin x$ trên khoảng $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Đồng biến trên toàn bộ khoảng $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$.
B. Nghịch biến trên toàn bộ khoảng $\left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right)$.
C. Đồng biến trên $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ và nghịch biến trên $\left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$.
D. Nghịch biến trên $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ và đồng biến trên $\left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Đáp án: B
Để lại phản hồi