📌 Đề bài:
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án $A, B, C, D$ dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để nhận diện đồ thị của một hàm số lượng giác cơ bản, ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1 (Giao điểm với trục tung $Oy$): Xác định tọa độ điểm cắt trục tung $x = 0 \implies y = f(0)$.
- Đồ thị hàm số $y = \sin x$ luôn đi qua gốc tọa độ $(0; 0)$ vì $\sin 0 = 0$.
- Đồ thị hàm số $y = \cos x$ đi qua điểm $(0; 1)$ vì $\cos 0 = 1$.
- Đồ thị hàm số $y = -\cos x$ đi qua điểm $(0; -1)$ vì $-\cos 0 = -1$.
- Bước 2 (Tính chẵn / lẻ và tính đối xứng):
- Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn, đồ thị nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng.
- Hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ, đồ thị nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng.
- Bước 3 (Kiểm tra một số điểm đặc biệt): Thử tọa độ các điểm mốc như $x = \frac{\pi}{2}, x = \pi, x = -\frac{\pi}{2}$ để loại trừ hoàn toàn các phương án gây nhiễu.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Cách giải nhanh theo dấu hiệu đồ thị:
1. Xét giao điểm với trục tung $Oy$:
Quan sát hình vẽ, đồ thị cắt trục tung tại điểm có tọa độ $(0; 1)$. Thay $x = 0$ vào từng phương án:
- Với $y = \sin x$: $y(0) = \sin 0 = 0 \neq 1$ $\Rightarrow$ Loại A.
- Với $y = -\sin x$: $y(0) = -\sin 0 = 0 \neq 1$ $\Rightarrow$ Loại D.
- Với $y = -\cos x$: $y(0) = -\cos 0 = -1 \neq 1$ $\Rightarrow$ Loại C.
- Với $y = \cos x$: $y(0) = \cos 0 = 1$ (thỏa mãn).
2. Kiểm tra thêm tính chất đối xứng và các điểm đặc biệt:
- Đồ thị hàm số nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng, do đó đây là hàm số chẵn. Trong các hàm số trên, chỉ có $y = \cos x$ và $y = -\cos x$ là hàm số chẵn.
- Tại $x = \pi$, giá trị hàm số là $y = -1$, trùng với $\cos \pi = -1$.
- Tại $x = \frac{\pi}{2}$ và $x = -\frac{\pi}{2}$, đồ thị cắt trục hoành tại $y = 0$, hoàn toàn khớp với $\cos\left(\pm\frac{\pi}{2}\right) = 0$.
👉 Kết luận / Đáp án: Chọn B ($y = \cos x$).
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Đường cong hình sóng đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$, đạt cực đại tại điểm $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$ và đạt cực tiểu tại $\left(-\frac{\pi}{2}; -1\right)$ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A. $y = \cos x$ B. $y = \sin x$ C. $y = -\sin x$ D. $y = \tan x$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Lời giải: Đồ thị đi qua gốc tọa độ $(0; 0)$ nên loại $y = \cos x$. Tại $x = \frac{\pi}{2}$ thì $y = 1 = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$, còn đối với $y = -\sin x$ thì $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$ (loại C). Do đó hàm số cần tìm là $y = \sin x$.
Bài tập 2: Cho biết đồ thị hàm số $y = f(x)$ nhận trục tung làm trục đối xứng và đi qua điểm $(0; -1)$. Hàm số đó có thể là hàm số nào sau đây?
A. $y = \sin x$ B. $y = \cos x$ C. $y = -\cos x$ D. $y = -\sin x$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Lời giải: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng $\implies f(x)$ là hàm số chẵn. Trong 4 phương án, chỉ có $y = \cos x$ và $y = -\cos x$ là hàm chẵn. Thay $x = 0$ ta có: $-\cos(0) = -1$. Vậy đồ thị là của hàm số $y = -\cos x$.
Bài tập 3: Đồ thị hàm số lượng giác nào dưới đây cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ $x = k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)?
A. $y = \sin x$ B. $y = \cos x$ C. $y = \cos 2x$ D. $y = 1 + \sin x$
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Lời giải: Giao điểm với trục hoành là nghiệm của phương trình $y = 0$. Ta có $\sin x = 0 \iff x = k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Đối với $\cos x = 0 \iff x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Vậy đáp án đúng là $y = \sin x$.
Bài tập 4: Đồ
Để lại phản hồi