📌 Đề bài (Câu 20 – Thông hiểu (TH) – Trắc nghiệm Trả lời ngắn (SA – Điền kết quả số/giá trị ngắn)):
Cho hàm số $y = \frac{x^2 + mx – 1}{x + 1}$. Tìm $m$ để tiệm cận xiên của đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$.
💡 XEM LỜI GIẢI CHI TIẾT & ĐÁP ÁN (Nhấn để mở)
Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức để xác định phương trình đường tiệm cận xiên
Ta thực hiện chia tử số cho mẫu số:
$$y = \frac{x^2 + mx – 1}{x + 1} = \frac{x(x + 1) + (m – 1)(x + 1) – m}{x + 1} = x + (m – 1) – \frac{m}{x + 1}$$
Điều kiện để đồ thị có tiệm cận xiên là phần dư không triệt tiêu đồng nhất (hoặc đa thức tử không chia hết cho mẫu, tức tử số tại $x = -1$ khác $0$: $(-1)^2 + m(-1) – 1 \neq 0 \Leftrightarrow -m \neq 0 \Leftrightarrow m \neq 0$).
Khi $x \to \pm\infty$, ta có $\lim_{x \to \pm\infty} \left[ y – (x + m – 1) \right] = \lim_{x \to \pm\infty} \left( -\frac{m}{x + 1} \right) = 0$.
Do đó, đường thẳng $(d): y = x + m – 1$ là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Bước 2: Tìm tham số $m$ thỏa mãn điều kiện đề bài
Đường tiệm cận xiên $(d)$ đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$ khi và chỉ khi:
$$0 = 0 + m – 1 \iff m = 1$$
Giá trị $m = 1$ thỏa mãn điều kiện $m \neq 0$.
👉 Đáp án (kết quả điền số): 1
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết cần nhớ
- Định nghĩa: Đường thẳng $y = ax + b$ ($a \neq 0$) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu $\lim_{x \to +\infty} [f(x) – (ax + b)] = 0$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} [f(x) – (ax + b)] = 0$.
- Cách tìm tiệm cận xiên của hàm phân thức hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất: $y = \frac{Ax^2 + Bx + C}{a’x + b’}$ ($A \neq 0, a’ \neq 0$). Ta chia đa thức đưa về dạng $y = ax + b + \frac{r}{a’x + b’}$. Khi đó đường thẳng $y = ax + b$ chính là tiệm cận xiên (với điều kiện $r \neq 0$).
- Tham khảo thêm bài tập cùng chuyên đề: xác định hệ số tiệm cận xiên và bài toán tiệm cận đi qua điểm cho trước.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Trả lời ngắn)
Bài tập 1: Cho hàm số $y = \frac{x^2 + (m+2)x + 3}{x – 1}$. Tìm $m$ để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm $A(1; 5)$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Chia đa thức: $y = x + (m + 3) + \frac{m + 6}{x – 1}$.
Tiệm cận xiên là $(d): y = x + m + 3$.
Vì $A(1; 5) \in (d) \Rightarrow 5 = 1 + m + 3 \iff m = 1$.
Đáp số: 1
Bài tập 2: Cho hàm số $y = \frac{2x^2 + mx – 3}{x + 2}$. Tìm giá trị của $m$ để đường tiệm cận xiên của đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Chia đa thức: $y = 2x + (m – 4) + \frac{5 – 2m}{x + 2}$.
Tiệm cận xiên là $(d): y = 2x + m – 4$.
Đi qua $O(0; 0) \Rightarrow 0 = 2(0) + m – 4 \iff m = 4$ (khi đó phần dư $5 – 2(4) = -3 \neq 0$).
Đáp số: 4
Bài tập 3: Cho hàm số $y = \frac{x^2 + mx + 2}{x – 2}$. Tìm $m$ để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-3$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Chia đa thức: $y = x + (m + 2) + \frac{2m + 6}{x – 2}$.
Tiệm cận xiên là $(d): y = x + m + 2$.
Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ $y = -3$ khi $x = 0 \Rightarrow -3 = 0 + m + 2 \iff m = -5$.
Đáp số: -5
Bài tập 4: Tìm $m$ để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 – mx + 4}{x – 2}$ đi qua điểm $M(3; 4)$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Chia đa thức: $y = x + (2 – m) + \frac{8 – 2m}{x – 2}$.
Tiệm cận xiên là $(d): y = x + 2 – m$.
Đi qua điểm $M(3; 4) \Rightarrow 4 = 3 + 2 – m \iff m = 1$.
Đáp số: 1
Bài tập 5: Cho hàm số $y = \frac{x^2 + (m – 3)x + 2}{x + 2}$. Tìm $m$ để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm $N(1; 2)$.
(Điền số kết quả)
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Chia đa thức: $y = x + (m – 5) + \frac{12 – 2m}{x + 2}$.
Tiệm cận xiên là $(d): y = x + m – 5$.
Đi qua điểm $N(1; 2) \Rightarrow 2 = 1 + m – 5 \iff m = 6$.
Đáp số: 6
Để lại phản hồi