Bài toán xác suất xét nghiệm RT-PCR: Tỉ lệ dương tính giả 5%, âm tính giả 13%, tỉ lệ mắc bệnh 5%

Đề bài:

Trong đại dịch Covid-19 người ta thường dùng xét nghiệm RT-PCR (tên tiếng Anh: Real Time Polymerase Chain Reaction) để xác định người bị nhiễm virus hay không. Biết rằng trong xét nghiệm RT-PCR tỉ lệ dương tính giả là $5\%$ và tỉ lệ âm tính giả là $13\%$ và tỉ lệ mắc bệnh của vùng dân cư là $5\%$. Biết rằng:

• Xét nghiệm dương tính nhưng thực tế người xét nghiệm không mắc bệnh. Ta gọi đây là dương tính giả.
• Xét nghiệm âm tính nhưng thực tế người xét nghiệm lại mắc bệnh. Ta gọi đây là âm tính giả.

Xác định tính đúng/sai của các mệnh đề sau:

a) Xác suất dương tính thật bằng $95\%$.

b) Xác suất xét nghiệm RT-PCR có kết quả dương tính là $9,1\%$.

c) Xác suất người nhiễm virus trong những người có kết quả xét nghiệm RT-PCR dương tính lớn hơn $50\%$.

d) Xác suất người không nhiễm virus trong những người có kết quả xét nghiệm RT-PCR âm tính nhỏ hơn $90,9\%$.

Phương pháp giải:

Đây là bài toán thực tế áp dụng Công thức xác suất toàn phần và Định lý Bayes. Để giải quyết, ta cần chuẩn hóa các dữ kiện bài toán thông qua việc gọi các biến cố:

• Gọi $B$ là biến cố: “Người được xét nghiệm thực sự mắc bệnh”.
• Gọi $\overline{B}$ là biến cố: “Người được xét nghiệm không mắc bệnh”.
• Gọi $D$ là biến cố: “Kết quả xét nghiệm là dương tính”.
• Gọi $\overline{D}$ là biến cố: “Kết quả xét nghiệm là âm tính”.

Từ giả thiết, ta suy ra các xác suất sau:

• Tỉ lệ mắc bệnh: $P(B) = 5\% = 0,05 \implies P(\overline{B}) = 1 – 0,05 = 0,95$.
• Tỉ lệ dương tính giả (dương tính nhưng không mắc bệnh): $P(D | \overline{B}) = 5\% = 0,05$.
• Tỉ lệ âm tính giả (âm tính nhưng lại mắc bệnh): $P(\overline{D} | B) = 13\% = 0,13$.

Lời giải chi tiết:

a) Xác suất dương tính thật bằng 95%.

“Dương tính thật” là trường hợp kết quả xét nghiệm dương tính khi người đó thực sự mắc bệnh, tức là xác suất điều kiện $P(D | B)$.

Ta có: Tổng xác suất dương tính thật và âm tính giả đối với người mắc bệnh là $100\%$.

$$P(D | B) = 1 – P(\overline{D} | B) = 1 – 0,13 = 0,87 = 87\%$$

Do $87\% \neq 95\%$, nên mệnh đề (a) là SAI.

(Lưu ý: Con số $95\%$ ở đây thực chất là xác suất “âm tính thật” $P(\overline{D} | \overline{B}) = 1 – P(D | \overline{B}) = 1 – 0,05 = 0,95$).

b) Xác suất xét nghiệm RT-PCR có kết quả dương tính là 9,1%.

Xác suất để một người có kết quả xét nghiệm dương tính là $P(D)$. Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$$P(D) = P(B) \cdot P(D | B) + P(\overline{B}) \cdot P(D | \overline{B})$$

Thay số vào ta được:

$$P(D) = 0,05 \cdot 0,87 + 0,95 \cdot 0,05 = 0,0435 + 0,0475 = 0,091$$

Vậy $P(D) = 9,1\%$. Mệnh đề (b) là ĐÚNG.

c) Xác suất người nhiễm virus trong những người có kết quả xét nghiệm RT-PCR dương tính lớn hơn 50%.

Bài toán yêu cầu tính xác suất một người thực sự mắc bệnh biết rằng kết quả xét nghiệm của họ là dương tính, tức là tính $P(B | D)$. Áp dụng định lý Bayes:

$$P(B | D) = \frac{P(B \cap D)}{P(D)} = \frac{P(B) \cdot P(D | B)}{P(D)}$$

$$P(B | D) = \frac{0,0435}{0,091} \approx 0,4780 = 47,8\%$$

Vì $47,8\% < 50\%$, nên mệnh đề (c) là SAI.

d) Xác suất người không nhiễm virus trong những người có kết quả xét nghiệm RT-PCR âm tính nhỏ hơn 90,9%.

Bài toán yêu cầu tính xác suất một người không mắc bệnh biết rằng kết quả xét nghiệm của họ là âm tính, tức là tính $P(\overline{B} | \overline{D})$.

Trước hết, xác suất xét nghiệm cho kết quả âm tính là:

$$P(\overline{D}) = 1 – P(D) = 1 – 0,091 = 0,909$$

Xác suất một người không mắc bệnh và có kết quả xét nghiệm âm tính là:

$$P(\overline{B} \cap \overline{D}) = P(\overline{B}) \cdot P(\overline{D} | \overline{B}) = 0,95 \cdot (1 – 0,05) = 0,95 \cdot 0,95 = 0,9025$$

Áp dụng định lý Bayes:

$$P(\overline{B} | \overline{D}) = \frac{P(\overline{B} \cap \overline{D})}{P(\overline{D})} = \frac{0,9025}{0,909} \approx 0,9928 = 99,28\%$$

Vì $99,28\% > 90,9\%$, nên mệnh đề (d) là SAI.

Kết luận:

• Mệnh đề a: SAI
• Mệnh đề b: ĐÚNG
• Mệnh đề c: SAI
• Mệnh đề d: SAI

Bài tập tương tự để luyện tập:

Bài toán: Tại một nhà máy, tỉ lệ sản phẩm bị lỗi là $4\%$. Máy kiểm tra chất lượng có khả năng phát hiện đúng sản phẩm lỗi với tỉ lệ $92\%$ (dương tính thật). Tuy nhiên, máy cũng có tỉ lệ báo lỗi nhầm đối với sản phẩm đạt chuẩn là $3\%$ (dương tính giả). Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng để đưa vào máy kiểm tra.

Xác định tính đúng/sai của các phát biểu sau:

1) Xác suất máy báo lỗi đối với một sản phẩm ngẫu nhiên là $6,56\%$.

2) Nếu máy báo lỗi, xác suất sản phẩm đó thực sự bị lỗi là khoảng $56,1\%$.