Tại một trường THPT, tỉ lệ học sinh khối 10, 11 và 12 lần lượt là 35%, 35% và 30%. Tỉ lệ học sinh giỏi của từng khối tương ứng là 20%, 25% và 30%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường thì được một học sinh giỏi. Tính xác suất để học sinh đó thuộc khối 12.

Dạng toán và Phương pháp giải

Dạng toán: Bài toán tính xác suất có điều kiện sử dụng công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes.

Phương pháp giải:

• Bước 1: Đặt hệ biến cố $B_1, B_2, …, B_n$ là một hệ đầy đủ (các trường hợp có thể xảy ra tạo thành không gian mẫu).
• Bước 2: Gọi $A$ là biến cố kiện (kết quả đã xảy ra).
• Bước 3: Tính xác suất của biến cố $A$ theo công thức xác suất đầy đủ: $P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + … + P(B_n)P(A|B_n)$.
• Bước 4: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất nguyên nhân: $P(B_k|A) = \frac{P(B_k)P(A|B_k)}{P(A)}$.

Đề bài

Tại một trường THPT, tỉ lệ học sinh khối 10, 11 và 12 lần lượt là 35%, 35% và 30%. Tỉ lệ học sinh giỏi của từng khối tương ứng là 20%, 25% và 30%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường thì được một học sinh giỏi. Tính xác suất để học sinh đó thuộc khối 12.

Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là biến cố ‘Học sinh được chọn là học sinh giỏi’.

Gọi $B_1, B_2, B_3$ lần lượt là biến cố ‘Học sinh được chọn thuộc khối 10, khối 11, khối 12’. Dễ thấy $B_1, B_2, B_3$ lập thành một hệ biến cố đầy đủ.

Theo giả thiết, ta có xác suất của từng khối là:

• $P(B_1) = 0.35$
• $P(B_2) = 0.35$
• $P(B_3) = 0.30$

Xác suất học sinh giỏi với điều kiện học sinh đó thuộc từng khối (xác suất có điều kiện) là:

• $P(A|B_1) = 0.20$
• $P(A|B_2) = 0.25$
• $P(A|B_3) = 0.30$

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, xác suất chọn được một học sinh giỏi toàn trường là:

$P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + P(B_3)P(A|B_3)$

$P(A) = 0.35 \times 0.20 + 0.35 \times 0.25 + 0.30 \times 0.30$

$P(A) = 0.07 + 0.0875 + 0.09 = 0.2475$

Biết rằng học sinh được chọn là học sinh giỏi (biến cố $A$ đã xảy ra), xác suất để học sinh đó thuộc khối 12 là $P(B_3|A)$. Áp dụng công thức Bayes:

$P(B_3|A) = \frac{P(B_3)P(A|B_3)}{P(A)} = \frac{0.30 \times 0.30}{0.2475} = \frac{0.09}{0.2475} = \frac{4}{11} \approx 0.3636$

Kết luận: Xác suất học sinh đó thuộc khối 12 là $\frac{4}{11}$.

Bài tập tự luyện tương tự

Bài 1: Phân xưởng 1 sản xuất 40% sản phẩm, phân xưởng 2 sản xuất 60%. Tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 3% và 5%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm thấy là phế phẩm. Tính xác suất nó do phân xưởng 1 sản xuất.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $A$ là biến cố ‘Sản phẩm là phế phẩm’. $B_1, B_2$ là biến cố ‘Sản phẩm do phân xưởng 1, 2 sản xuất’.

$P(A) = 0.4 \times 0.03 + 0.6 \times 0.05 = 0.012 + 0.03 = 0.042$.

$P(B_1|A) = \frac{0.012}{0.042} = \frac{2}{7}$.

Bài 2: Tỉ lệ ngày mưa là 20%, ngày nắng là 80%. Xác suất kẹt xe vào ngày mưa là 70%, ngày nắng là 10%. Một ngày thấy có kẹt xe, tính xác suất hôm đó trời mưa.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $A$ là biến cố ‘Kẹt xe’. $B_1, B_2$ là ‘Trời mưa’, ‘Trời nắng’.

$P(A) = 0.2 \times 0.7 + 0.8 \times 0.1 = 0.14 + 0.08 = 0.22$.

$P(B_1|A) = \frac{0.14}{0.22} = \frac{7}{11}$.

Bài 3: Một căn bệnh hiếm gặp có tỉ lệ mắc bệnh là 0.1%. Xét nghiệm có độ nhạy 99% (người bệnh test dương tính) và độ đặc hiệu 95% (người không bệnh test âm tính). Một người có kết quả dương tính. Tính xác suất người này thực sự mắc bệnh.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $A$ là ‘Xét nghiệm dương tính’, $B_1$ là ‘Mắc bệnh’ ($P(B_1)=0.001$), $B_2$ là ‘Không mắc bệnh’ ($P(B_2)=0.999$).

$P(A|B_1) = 0.99$, $P(A|B_2) = 1 – 0.95 = 0.05$.

$P(A) = 0.001 \times 0.99 + 0.999 \times 0.05 = 0.00099 + 0.04995 = 0.05094$.

$P(B_1|A) = \frac{0.00099}{0.05094} = \frac{11}{566} \approx 1.94\%$.

Bài 4: Hòm thư có 60% là thư rác. Bộ lọc nhận diện đúng 95% thư rác, nhưng nhận diện nhầm 2% thư thường thành thư rác. Chọn 1 thư bị đánh dấu là thư rác. Xác suất đó thực sự là thư rác?

Xem đáp án và lời giải

Gọi $A$ là ‘Bị đánh dấu thư rác’, $B_1$ là ‘Thư rác’, $B_2$ là ‘Thư thường’.

$P(A) = 0.6 \times 0.95 + 0.4 \times 0.02 = 0.57 + 0.008 = 0.578$.

$P(B_1|A) = \frac{0.57}{0.578} = \frac{285}{289} \approx 98.61\%$.

Bài 5: Hai xạ thủ cùng bắn vào mục tiêu. Xác suất trúng của xạ thủ 1 là 0.8, xạ thủ 2 là 0.6. Lấy ngẫu nhiên 1 trong 2 xạ thủ (xác suất chọn 50%) và cho bắn 1 viên. Kết quả trúng đích. Tính xác suất viên đạn đó do xạ thủ 1 bắn.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $A$ là ‘Đạn trúng đích’, $B_1, B_2$ là ‘Xạ thủ 1 bắn’, ‘Xạ thủ 2 bắn’.

$P(A) = 0.5 \times 0.8 + 0.5 \times 0.6 = 0.4 + 0.3 = 0.7$.

$P(B_1|A) = \frac{0.4}{0.7} = \frac{4}{7}$.