Có hai hộp bi: Hộp 1 chứa 4 bi đỏ và 6 bi xanh, hộp 2 chứa 5 bi đỏ và 5 bi xanh. Gieo một con xúc xắc cân đối. Nếu xuất hiện mặt 1 hoặc 2 chấm thì chọn hộp 1, nếu xuất hiện mặt 3, 4, 5, hoặc 6 chấm thì chọn hộp 2. Từ hộp được chọn, lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Biết rằng 2 viên bi lấy ra có 1 bi đỏ và 1 bi xanh, tính xác suất để 2 viên bi đó được lấy từ hộp 1.

Dạng toán: Xác suất có điều kiện và Công thức Bayes (Vận dụng cao)

1. Phương pháp giải

Để giải các bài toán xác suất có điều kiện ở mức độ vận dụng cao, đặc biệt là các bài toán liên quan đến hai giai đoạn (chọn đối tượng rồi mới thực hiện phép thử), chúng ta áp dụng hệ thống Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes.

• Bước 1: Gọi $A_1, A_2, …, A_n$ là một hệ biến cố đầy đủ (các trường hợp có thể xảy ra ở giai đoạn 1). Tính $P(A_i)$.
• Bước 2: Gọi $B$ là biến cố chính mà đề bài cho biết đã xảy ra. Tính các xác suất có điều kiện $P(B|A_i)$.
• Bước 3: Tính xác suất toàn phần của $B$: $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i)$.
• Bước 4: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất ngược (xác suất có điều kiện khi biến cố $B$ đã xảy ra): $P(A_k|B) = \frac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{P(B)}$.

2. Đề bài

Bài toán: Có hai hộp bi: Hộp 1 chứa 4 bi đỏ và 6 bi xanh, hộp 2 chứa 5 bi đỏ và 5 bi xanh. Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Nếu xuất hiện mặt 1 hoặc 2 chấm thì chọn hộp 1, nếu xuất hiện mặt 3, 4, 5, hoặc 6 chấm thì chọn hộp 2. Từ hộp được chọn, lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi. Biết rằng 2 viên bi lấy ra có 1 bi đỏ và 1 bi xanh, tính xác suất để 2 viên bi đó được lấy từ hộp 1.

3. Lời giải chi tiết

Gọi $A_1$ là biến cố ‘Chọn được hộp 1’. Do gieo xúc xắc, mặt 1 và 2 chọn hộp 1 nên $P(A_1) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Gọi $A_2$ là biến cố ‘Chọn được hộp 2’. Suy ra $P(A_2) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Rõ ràng $A_1, A_2$ lập thành một hệ đầy đủ các biến cố.

Gọi $B$ là biến cố ‘2 viên bi lấy ra có 1 bi đỏ và 1 bi xanh’. Ta cần tính $P(A_1|B)$.

Nếu hộp 1 được chọn, ta lấy 2 bi từ 10 bi (4 đỏ, 6 xanh). Xác suất được 1 đỏ, 1 xanh là:
$P(B|A_1) = \frac{C_4^1 \cdot C_6^1}{C_{10}^2} = \frac{4 \cdot 6}{45} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$.

Nếu hộp 2 được chọn, ta lấy 2 bi từ 10 bi (5 đỏ, 5 xanh). Xác suất được 1 đỏ, 1 xanh là:
$P(B|A_2) = \frac{C_5^1 \cdot C_5^1}{C_{10}^2} = \frac{5 \cdot 5}{45} = \frac{25}{45} = \frac{5}{9}$.

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất lấy được 1 bi đỏ và 1 bi xanh chung cho cả phép thử là:
$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9} = \frac{8}{45} + \frac{10}{27} = \frac{24}{135} + \frac{50}{135} = \frac{74}{135}$.

Theo công thức Bayes, xác suất để 2 viên bi đó thuộc hộp 1 khi biết chúng có 1 đỏ, 1 xanh là:
$P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{\frac{8}{45}}{\frac{74}{135}} = \frac{24}{135} \cdot \frac{135}{74} = \frac{24}{74} = \frac{12}{37}$.

Kết luận: Xác suất cần tìm là $\frac{12}{37}$.

4. Bài tập làm thêm (Tương tự & Nâng cao)

Dưới đây là 5 bài tập tương tự để các em rèn luyện tư duy với Công thức Bayes. Hãy tự giải trước khi xem đáp án nhé.

Bài 1

Một hệ thống lọc email nhận dạng được 90% thư rác (spam) nhưng cũng đánh dấu nhầm 5% thư thường thành thư rác. Biết rằng trong tổng số email gửi đến có 40% là thư rác. Một email bị hệ thống đánh dấu là thư rác, tính xác suất để đó thực sự là thư rác.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $A_1$ là biến cố ‘Thư rác’, $A_2$ là biến cố ‘Thư thường’. $P(A_1) = 0.4$, $P(A_2) = 0.6$. Gọi $B$ là biến cố ‘Bị đánh dấu thư rác’. Ta có $P(B|A_1) = 0.9$ và $P(B|A_2) = 0.05$.

$P(B) = 0.4 \cdot 0.9 + 0.6 \cdot 0.05 = 0.36 + 0.03 = 0.39$.

Xác suất cần tìm: $P(A_1|B) = \frac{0.36}{0.39} = \frac{12}{13}$.

Bài 2

Một học sinh thi trắc nghiệm môn Toán gồm các câu hỏi có 4 phương án trả lời. Đối với mỗi câu, xác suất học sinh biết làm là 0.3 (biết làm thì chắc chắn chọn đúng). Nếu không biết làm, học sinh sẽ khoanh lụi với xác suất trúng là 0.25. Giả sử học sinh làm đúng một câu, tính xác suất để câu đó học sinh thực sự biết làm chứ không phải do may mắn.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $A_1$ là ‘Biết làm’ ($P(A_1)=0.3$), $A_2$ là ‘Khoanh lụi’ ($P(A_2)=0.7$). Gọi $B$ là ‘Làm đúng’. Ta có $P(B|A_1) = 1$, $P(B|A_2) = 0.25$.

$P(B) = 0.3 \cdot 1 + 0.7 \cdot 0.25 = 0.3 + 0.175 = 0.475$.

Xác suất cần tìm: $P(A_1|B) = \frac{0.3}{0.475} = \frac{12}{19}$.

Bài 3

Ba phân xưởng A, B, C cùng sản xuất một loại sản phẩm với tỉ lệ đóng góp sản lượng lần lượt là 20%, 30%, 50%. Tỉ lệ phế phẩm của các phân xưởng tương ứng là 5%, 4%, 2%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì được một phế phẩm. Tính xác suất để phế phẩm này do phân xưởng A sản xuất.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $A, B, C$ là biến cố sản phẩm do các xưởng tương ứng sản xuất. $P(A)=0.2, P(B)=0.3, P(C)=0.5$. Gọi $F$ là ‘Phế phẩm’. $P(F|A)=0.05, P(F|B)=0.04, P(F|C)=0.02$.

$P(F) = 0.2 \cdot 0.05 + 0.3 \cdot 0.04 + 0.5 \cdot 0.02 = 0.01 + 0.012 + 0.01 = 0.032$.

Xác suất cần tìm: $P(A|F) = \frac{0.01}{0.032} = \frac{5}{16}$.

Bài 4

Hai xạ thủ cùng bắn vào một bia, mỗi người bắn 1 viên. Xác suất bắn trúng của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là 0.8 và 0.7. Ban giám khảo chọn ngẫu nhiên một trong hai xạ thủ ra bắn thử 1 viên. Kết quả viên đạn trúng bia. Tính xác suất viên đạn đó do người thứ nhất bắn.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $A_1, A_2$ là biến cố chọn xạ thủ 1 và 2. $P(A_1) = P(A_2) = 0.5$. Gọi $T$ là ‘Bắn trúng’. $P(T|A_1) = 0.8, P(T|A_2) = 0.7$.

$P(T) = 0.5 \cdot 0.8 + 0.5 \cdot 0.7 = 0.4 + 0.35 = 0.75$.

Xác suất cần tìm: $P(A_1|T) = \frac{0.4}{0.75} = \frac{8}{15}$.

Bài 5

Có 2 đồng xu: Đồng xu 1 cân đối đồng chất (1 sấp, 1 ngửa); Đồng xu 2 có cả 2 mặt đều là mặt Sấp. Lấy ngẫu nhiên một đồng xu và gieo nó 3 lần liên tiếp thì thấy cả 3 lần đều xuất hiện mặt Sấp. Tính xác suất để đồng xu được chọn là đồng xu thứ 2.

Xem đáp án và lời giải

Gọi $C_1, C_2$ là biến cố chọn đồng xu 1 và 2. $P(C_1) = P(C_2) = 0.5$. Gọi $S_3$ là ‘3 lần đều Sấp’. $P(S_3|C_1) = (0.5)^3 = 0.125$, $P(S_3|C_2) = 1^3 = 1$.

$P(S_3) = 0.5 \cdot 0.125 + 0.5 \cdot 1 = 0.0625 + 0.5 = 0.5625$.

Xác suất cần tìm: $P(C_2|S_3) = \frac{0.5}{0.5625} = \frac{8}{9}$.