Một trạm thông tin phát đi hai loại tín hiệu A và B với tỉ lệ lần lượt là 70% và 30%. Do nhiễu sóng, 10% tín hiệu A bị máy thu nhận nhầm thành B, và 5% tín hiệu B bị máy thu nhận nhầm thành A. Máy thu nhận được một tín hiệu B. Tính xác suất để tín hiệu phát đi thực sự là tín hiệu B.

Dạng toán và Phương pháp giải

Dạng toán: Bài toán yêu cầu tính xác suất của một nguyên nhân (hoặc một giả thiết) khi đã biết kết quả (biến cố) đã xảy ra. Đây là dạng toán kinh điển áp dụng Công thức xác suất đầy đủ và Công thức Bayes.

Phương pháp giải:

• Bước 1: Lập hệ biến cố đầy đủ. Gọi $H_1, H_2, …, H_n$ là các biến cố nguyên nhân (hoặc giả thiết) xung khắc từng đôi và có tổng bằng không gian mẫu. Xác định xác suất tiên nghiệm $P(H_i)$.
• Bước 2: Gọi $X$ là biến cố kết quả đã xảy ra theo đề bài. Xác định các xác suất có điều kiện $P(X|H_i)$.
• Bước 3: Tính xác suất của biến cố $X$ dựa vào công thức xác suất đầy đủ: $$P(X) = P(H_1)P(X|H_1) + P(H_2)P(X|H_2) + … + P(H_n)P(X|H_n)$$
• Bước 4: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất hậu nghiệm (xác suất của nguyên nhân $H_k$ khi đã biết $X$ xảy ra): $$P(H_k|X) = rac{P(H_k)P(X|H_k)}{P(X)}$$

Đề bài

Một trạm thông tin phát đi hai loại tín hiệu A và B với tỉ lệ lần lượt là 70% và 30%. Do nhiễu sóng, 10% tín hiệu A bị máy thu nhận nhầm thành B, và 5% tín hiệu B bị máy thu nhận nhầm thành A. Máy thu nhận được một tín hiệu B. Tính xác suất để tín hiệu phát đi thực sự là tín hiệu B.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Lập hệ biến cố đầy đủ

Gọi $H_1$ là biến cố “Trạm phát đi tín hiệu A”.

Gọi $H_2$ là biến cố “Trạm phát đi tín hiệu B”.

Hệ {$H_1, H_2$} là một hệ biến cố đầy đủ. Theo giả thiết, ta có:

$P(H_1) = 0,7$

$P(H_2) = 0,3$

Bước 2: Gọi biến cố kết quả và tính xác suất có điều kiện

Gọi $X$ là biến cố “Máy thu nhận được tín hiệu B”.

Nếu trạm phát tín hiệu A ($H_1$ xảy ra), xác suất máy nhận nhầm thành B là 10%. Suy ra: $P(X|H_1) = 0,10$.

Nếu trạm phát tín hiệu B ($H_2$ xảy ra), xác suất máy nhận nhầm thành A là 5%, do đó xác suất nhận đúng tín hiệu B là $100\% – 5\% = 95\%$. Suy ra: $P(X|H_2) = 0,95$.

Bước 3: Tính xác suất đầy đủ của X

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, xác suất để máy thu nhận được tín hiệu B là:

$$P(X) = P(H_1)P(X|H_1) + P(H_2)P(X|H_2)$$

$$P(X) = 0,7 \times 0,10 + 0,3 \times 0,95 = 0,07 + 0,285 = 0,355$$

Bước 4: Áp dụng công thức Bayes

Bài toán yêu cầu tính xác suất để tín hiệu phát đi thực sự là B ($H_2$) khi biết máy đã thu được tín hiệu B ($X$). Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$$P(H_2|X) = \frac{P(H_2)P(X|H_2)}{P(X)}$$

$$P(H_2|X) = \frac{0,285}{0,355} = \frac{285}{355} = \frac{57}{71} \approx 0,8028$$

Kết luận: Xác suất để tín hiệu phát đi thực sự là tín hiệu B là $\frac{57}{71}$ (khoảng 80,28%).

Bài tập làm thêm (Tự luyện)

Dưới đây là 5 bài tập tương tự để rèn luyện tư duy áp dụng công thức Bayes. Hãy tự giải trước khi xem đáp án nhé!

Bài tập 1: Bắn cung

Ba xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng đích của xạ thủ 1, xạ thủ 2 và xạ thủ 3 lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Mỗi người bắn một viên đạn độc lập với nhau. Sau khi bắn xong, người ta thấy mục tiêu chỉ có đúng một vết đạn (đúng 1 viên trúng đích). Tính xác suất viên đạn trúng đích đó là của xạ thủ số 1.

Bài tập 2: Vay vốn ngân hàng

Một ngân hàng cho hai nhóm khách hàng vay vốn: nhóm kinh doanh và nhóm tiêu dùng cá nhân, chiếm tỉ lệ lần lượt là 40% và 60% tổng số hồ sơ. Dữ liệu lịch sử cho thấy tỉ lệ nợ xấu của nhóm kinh doanh là 3%, còn nhóm tiêu dùng cá nhân là 1%. Kiểm tra ngẫu nhiên một hồ sơ vay vốn thì phát hiện đó là hồ sơ nợ xấu. Tính xác suất hồ sơ nợ xấu này thuộc nhóm tiêu dùng cá nhân.

Bài tập 3: Thời tiết và câu cá

Một người thường đi câu cá vào dịp cuối tuần. Ở vùng đó, xác suất trời nắng là 0,7 và trời mưa là 0,3. Nếu trời nắng, xác suất người đó câu được cá là 0,8; còn nếu trời mưa thì xác suất câu được cá giảm xuống chỉ còn 0,4. Hôm nay người đó đi câu và mang cá về. Tính xác suất để hôm nay trời đã mưa.

Bài tập 4: Đánh giá chất lượng thương mại điện tử

Một gian hàng online nhập mặt hàng áo thun từ hai xưởng sản xuất A và B với tỉ lệ lần lượt là 70% và 30%. Tỉ lệ khách hàng mua áo và đánh giá 5 sao cho sản phẩm xưởng A là 80%, trong khi xưởng B chỉ là 60%. Chọn ngẫu nhiên một chiếc áo đã bán ra và thấy chiếc áo này được đánh giá 5 sao. Tính xác suất chiếc áo đó do xưởng A sản xuất.

Bài tập 5: Bộ lọc thư rác (Spam filter)

Đến máy chủ hệ thống mạng của một công ty, lượng email gửi đến có 40% là thư rác (spam) và 60% là thư thường. Phần mềm bảo mật nhận diện đúng thư rác với xác suất 95% và nhận diện nhầm thư thường thành thư rác với xác suất 2%. Máy chủ báo cáo có một email vừa bị đánh dấu là thư rác. Tính xác suất để email đó thực sự là thư rác.