Một trạm phát tín hiệu phát đi hai loại tín hiệu A và B với xác suất 0,6 và 0,4. Giả sử trạm thu nhận được tín hiệu A, tính xác suất để trạm phát thực sự đã phát đi tín hiệu A

Dạng toán: Xác suất có điều kiện – Định lý Bayes (Vận dụng cao)

Đây là dạng toán điển hình của chương Xác suất, yêu cầu học sinh nắm vững Công thức xác suất toàn phần và Định lý Bayes. Bài toán thường mô tả một quá trình hai giai đoạn, trong đó kết quả của giai đoạn hai đã biết và ta cần tính xác suất ngược lại cho một nguyên nhân (biến cố) ở giai đoạn một.

Phương pháp giải

• Bước 1: Gọi tên các biến cố tạo thành một hệ đầy đủ (thường là các trường hợp có thể xảy ra ở giai đoạn 1).
• Bước 2: Gọi biến cố $X$ là sự kiện đã xảy ra ở giai đoạn 2. Tính xác suất của $X$ theo công thức xác suất toàn phần: $P(X) = P(A_1) \cdot P(X|A_1) + P(A_2) \cdot P(X|A_2) + … + P(A_n) \cdot P(X|A_n)$.
• Bước 3: Sử dụng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện theo yêu cầu bài toán: $P(A_k|X) = \frac{P(A_k) \cdot P(X|A_k)}{P(X)}$.

Đề bài

Một trạm phát tín hiệu phát đi hai loại tín hiệu là $A$ và $B$ với xác suất tương ứng là $0,6$ và $0,4$. Do nhiễu đường truyền, khi phát tín hiệu $A$ thì trạm thu nhận được tín hiệu $A$ với xác suất $0,8$ và bị nhầm thành tín hiệu $B$ với xác suất $0,2$. Khi phát tín hiệu $B$ thì trạm thu nhận được tín hiệu $B$ với xác suất $0,9$ và bị nhầm thành tín hiệu $A$ với xác suất $0,1$. Giả sử trạm thu nhận được tín hiệu $A$. Tính xác suất để trạm phát thực sự đã phát đi tín hiệu $A$.

Lời giải chi tiết

Gọi $P_A$ là biến cố “Trạm phát đi tín hiệu $A$” và $P_B$ là biến cố “Trạm phát đi tín hiệu $B$”. Hệ biến cố $\{P_A, P_B\}$ là một hệ đầy đủ với $P(P_A) = 0,6$ và $P(P_B) = 0,4$.

Gọi $T_A$ là biến cố “Trạm thu nhận được tín hiệu $A$”. Theo giả thiết bài toán, ta có các xác suất có điều kiện sau:

• $P(T_A | P_A) = 0,8$ (Phát $A$ và nhận đúng $A$)
• $P(T_A | P_B) = 0,1$ (Phát $B$ nhưng bị nhiễu nhận nhầm thành $A$)

Xác suất để trạm thu nhận được tín hiệu $A$ (áp dụng công thức xác suất toàn phần):

$$P(T_A) = P(P_A) \cdot P(T_A | P_A) + P(P_B) \cdot P(T_A | P_B) = 0,6 \cdot 0,8 + 0,4 \cdot 0,1 = 0,48 + 0,04 = 0,52$$

Theo yêu cầu bài toán, ta cần tính xác suất phát tín hiệu $A$ khi biết chắc chắn đã thu được tín hiệu $A$. Áp dụng định lý Bayes, ta có:

$$P(P_A | T_A) = \frac{P(P_A \cap T_A)}{P(T_A)} = \frac{P(P_A) \cdot P(T_A | P_A)}{P(T_A)} = \frac{0,48}{0,52} = \frac{48}{52} = \frac{12}{13}$$

Kết luận: Xác suất để trạm thực sự phát đi tín hiệu $A$ là $\frac{12}{13}$.

5 Bài tập tương tự (Tự luyện)

Bài 1: Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng 1, 2, 3 lần lượt sản xuất $30\%$, $20\%$ và $50\%$ tổng sản lượng. Tỉ lệ phế phẩm của các phân xưởng lần lượt là $1\%$, $2\%$ và $0,5\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất để phế phẩm đó do phân xưởng 1 sản xuất.

Bài 2: Một học sinh đi thi trắc nghiệm. Xác suất học sinh đó thuộc bài là $0,7$ và không thuộc bài (phải chọn bừa) là $0,3$. Nếu thuộc bài, học sinh chọn đúng đáp án với xác suất $1$. Nếu không thuộc bài, xác suất chọn đúng ngẫu nhiên là $0,25$. Biết rằng kết quả học sinh đó trả lời đúng câu hỏi. Tính xác suất học sinh đó thực sự thuộc bài.

Bài 3: Có hai hộp bi. Hộp I chứa 3 bi trắng và 2 bi đen. Hộp II chứa 4 bi trắng và 4 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp I bỏ vào hộp II, sau đó lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp II ra thì thấy đó là bi trắng. Tính xác suất viên bi được chuyển từ hộp I sang hộp II là bi trắng.

Bài 4: Một loại bệnh hiếm gặp có tỉ lệ mắc trong dân số là $0,1\%$. Một loại xét nghiệm có độ nhạy là $99\%$ (người bệnh thì xét nghiệm dương tính với xác suất $99\%$) và tỉ lệ dương tính giả là $2\%$ (người không có bệnh nhưng xét nghiệm vẫn dương tính). Một người đi xét nghiệm ngẫu nhiên có kết quả dương tính. Tính xác suất người này thực sự mắc bệnh.

Bài 5: Khách hàng mua bảo hiểm được chia làm 3 nhóm: Ít rủi ro (chiếm $60\%$), Rủi ro trung bình (chiếm $30\%$) và Rủi ro cao (chiếm $10\%$). Xác suất gặp tai nạn trong năm của 3 nhóm lần lượt là $1\%$, $5\%$ và $10\%$. Một khách hàng vừa gặp tai nạn trong năm nay. Tính xác suất khách hàng này thuộc nhóm rủi ro cao.

Xem đáp án và lời giải

Bài 1: Gọi $A_1, A_2, A_3$ là SP do PX 1, 2, 3 sản xuất. $D$ là biến cố SP bị lỗi. $P(D) = 0,3 \cdot 0,01 + 0,2 \cdot 0,02 + 0,5 \cdot 0,005 = 0,0095$. $P(A_1|D) = \frac{0,3 \cdot 0,01}{0,0095} = \frac{6}{19}$.

Bài 2: Gọi $B$ là thuộc bài, $C$ là chọn đúng. $P(C) = 0,7 \cdot 1 + 0,3 \cdot 0,25 = 0,775$. Xác suất thuộc bài khi đã chọn đúng: $P(B|C) = \frac{0,7 \cdot 1}{0,775} = \frac{28}{31}$.

Bài 3: Gọi $W_1, B_1$ là biến cố bi chuyển sang là trắng/đen. $W_2$ là biến cố rút được bi trắng từ hộp II. $P(W_2) = P(W_1)P(W_2|W_1) + P(B_1)P(W_2|B_1) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} + \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{9} = \frac{23}{45}$. $P(W_1|W_2) = \frac{15/45}{23/45} = \frac{15}{23}$.

Bài 4: Gọi $D$ là mắc bệnh, $Pos$ là xét nghiệm dương tính. $P(Pos) = 0,001 \cdot 0,99 + 0,999 \cdot 0,02 = 0,02097$. $P(D|Pos) = \frac{0,00099}{0,02097} = \frac{11}{233} \approx 4,72\%$.

Bài 5: Gọi $H$ là nhóm rủi ro cao, $A$ là gặp tai nạn. $P(A) = 0,6 \cdot 0,01 + 0,3 \cdot 0,05 + 0,1 \cdot 0,1 = 0,031$. $P(H|A) = \frac{0,1 \cdot 0,1}{0,031} = \frac{10}{31}$.