Dạng toán và Phương pháp giải
Dạng toán: Bài toán tính xác suất sử dụng công thức xác suất toàn phần và định lý Bayes.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Lập hệ biến cố đầy đủ $A_1, A_2, …, A_n$ (các trường hợp có thể xảy ra ở giai đoạn 1) và tính xác suất $P(A_i)$.
- Bước 2: Gọi $B$ là biến cố quan sát được ở giai đoạn 2. Tính các xác suất có điều kiện $P(B|A_i)$.
- Bước 3: Áp dụng công thức xác suất toàn phần: $P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B|A_i)$.
- Bước 4: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất nguyên nhân: $P(A_k|B) = \frac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{P(B)}$.
Đề bài
Có 3 hộp giống hệt nhau. Hộp 1 chứa 3 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh. Hộp 2 chứa 4 viên bi đỏ và 1 viên bi xanh. Hộp 3 chứa 2 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Một người nhắm mắt chọn ngẫu nhiên một hộp, sau đó từ hộp đã chọn rút ngẫu nhiên ra 1 viên bi. Giả sử viên bi rút được là viên bi đỏ. Tính xác suất để viên bi đỏ đó được rút ra từ hộp 1.
Lời giải chi tiết
Gọi $A_i$ là biến cố “Chọn được hộp thứ $i$” với $i \in \{1; 2; 3\}$.
Vì người đó nhắm mắt chọn ngẫu nhiên 1 trong 3 hộp giống hệt nhau nên xác suất chọn được mỗi hộp là bằng nhau: $P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3}$. Các biến cố $A_1, A_2, A_3$ tạo thành một hệ biến cố đầy đủ.
Gọi $B$ là biến cố “Rút được viên bi màu đỏ”. Ta cần tính xác suất $P(A_1|B)$.
Theo giả thiết bài toán, ta có các xác suất có điều kiện sau:
- Nếu chọn hộp 1 (có tổng cộng 5 viên bi, trong đó có 3 bi đỏ): $P(B|A_1) = \frac{3}{5}$.
- Nếu chọn hộp 2 (có tổng cộng 5 viên bi, trong đó có 4 bi đỏ): $P(B|A_2) = \frac{4}{5}$.
- Nếu chọn hộp 3 (có tổng cộng 5 viên bi, trong đó có 2 bi đỏ): $P(B|A_3) = \frac{2}{5}$.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất rút được viên bi đỏ là:
$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3 + 4 + 2}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$$
Áp dụng định lý Bayes, xác suất viên bi đỏ đó được rút từ hộp 1 là:
$$P(A_1|B) = \frac{P(A_1) \cdot P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{1}{3}$$
Kết luận: Xác suất để viên bi đỏ đó thuộc hộp 1 là $\frac{1}{3}$.
Bài tập tương tự
Bài 1: Có hai kho hàng. Kho A có 60% sản phẩm loại I, kho B có 80% sản phẩm loại I. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ một kho bất kỳ thì được sản phẩm loại I. Tính xác suất sản phẩm đó thuộc kho A.
Xem đáp án và lời giải
Lời giải: Gọi $A, B$ lần lượt là biến cố chọn kho A, kho B. $P(A)=P(B)=0,5$. Gọi $H$ là biến cố lấy được sản phẩm loại I. Ta có $P(H) = P(A)P(H|A) + P(B)P(H|B) = 0,5 \cdot 0,6 + 0,5 \cdot 0,8 = 0,7$. Xác suất cần tìm: $P(A|H) = \frac{0,5 \cdot 0,6}{0,7} = \frac{3}{7}$.
Bài 2: Hai học sinh cùng giải một bài toán độc lập với nhau. Xác suất giải được của học sinh 1 là 0,7 và học sinh 2 là 0,8. Biết rằng có đúng một học sinh giải được bài toán. Tính xác suất đó là học sinh 1.
Xem đáp án và lời giải
Lời giải: Gọi $A, B$ là biến cố HS1, HS2 giải được. $P(A)=0,7; P(B)=0,8$. Gọi $H$ là biến cố có đúng 1 người giải được: $P(H) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B) = 0,7 \cdot 0,2 + 0,3 \cdot 0,8 = 0,14 + 0,24 = 0,38$. Xác suất cần tìm là: $P(A \cap \bar{B} | H) = \frac{0,14}{0,38} = \frac{7}{19}$.
Bài 3: Trong hòm có 4 đồng xu, trong đó 3 đồng thật (2 mặt sấp ngửa) và 1 đồng giả (cả 2 mặt đều sấp). Chọn ngẫu nhiên 1 đồng xu và tung 1 lần thấy ra mặt sấp. Tính xác suất đồng xu đó là đồng giả.
Xem đáp án và lời giải
Lời giải: Gọi $A_1$ là biến cố chọn đồng xu thật, $A_2$ là biến cố chọn đồng xu giả. $P(A_1) = \frac{3}{4}, P(A_2) = \frac{1}{4}$. Gọi $S$ là biến cố tung được mặt sấp. $P(S) = P(A_1)P(S|A_1) + P(A_2)P(S|A_2) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{5}{8}$. Xác suất cần tìm: $P(A_2|S) = \frac{\frac{1}{4} \cdot 1}{\frac{5}{8}} = \frac{2}{5}$.
Bài 4: Bắn 2 phát đạn vào một mục tiêu. Xác suất trúng của phát 1 là 0,6 và phát 2 là 0,8. Biết mục tiêu bị trúng đúng 1 viên đạn. Tính xác suất viên đạn trúng đích là của phát thứ nhất.
Xem đáp án và lời giải
Lời giải: Xác suất trúng đúng 1 viên: $P = 0,6 \cdot 0,2 + 0,4 \cdot 0,8 = 0,12 + 0,32 = 0,44$. Xác suất để viên đó là phát 1: $P_1 = \frac{0,12}{0,44} = \frac{3}{11}$.
Bài 5: Có hai hộp bi. Hộp I có 4 bi đỏ, 6 bi đen. Hộp II có 5 bi đỏ, 3 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp rồi từ đó rút ngẫu nhiên 1 bi thì được bi đen. Tính xác suất viên bi đó thuộc hộp II.
Xem đáp án và lời giải
Lời giải: Xác suất chọn mỗi hộp là $0,5$. Gọi $D$ là biến cố lấy được bi đen. $P(D) = 0,5 \cdot \frac{6}{10} + 0,5 \cdot \frac{3}{8} = 0,3 + 0,1875 = 0,4875$. Xác suất rút từ hộp II là: $P(II|D) = \frac{0,1875}{0,4875} = \frac{5}{13}$.
Để lại phản hồi