1. Dạng toán và Phương pháp giải
Bài toán trên thuộc dạng Xác suất có điều kiện vận dụng cao (VDC), ứng dụng linh hoạt Công thức xác suất toàn phần và Định lý Bayes. Trong các bài toán thực tế như truyền tải thông tin, kiểm định chất lượng nhiều giai đoạn, kết quả cuối cùng bị ảnh hưởng bởi nhiều biến cố trung gian độc lập.
Phương pháp giải:
- Bước 1: Gọi $A$ là biến cố của đối tượng cần tính xác suất ban đầu (ví dụ: Tín hiệu phát đi là 1). Lập hệ đầy đủ các biến cố $A$ và $\overline{A}$.
- Bước 2: Gọi $B$ là biến cố điều kiện (kết quả quan sát được ở cuối quá trình).
- Bước 3: Tính các xác suất có điều kiện $P(B|A)$ và $P(B|\overline{A})$ bằng cách phân tích tất cả các trường hợp có thể xảy ra trong quá trình trung gian.
- Bước 4: Tính xác suất toàn phần $P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})$.
- Bước 5: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất ngược lại: $P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$.
2. Đề bài và Lời giải chi tiết
Đề bài: Truyền một tín hiệu nhị phân (gồm các ký tự 0 hoặc 1) qua một mạng truyền thông có 2 trạm thu phát nối tiếp nhau. Biết rằng xác suất tín hiệu ban đầu được phát đi là ký tự 1 bằng 0,6 và ký tự 0 bằng 0,4. Tại mỗi trạm thu phát, do nhiễu đường truyền nên có 10% khả năng tín hiệu bị sai lệch (nghĩa là 1 biến thành 0, hoặc 0 biến thành 1) một cách độc lập với nhau. Nếu tín hiệu nhận được ở cuối trạm thứ 2 là ký tự 1, hãy tính xác suất để tín hiệu ban đầu được phát đi thực sự là ký tự 1.
Lời giải:
Gọi $A$ là biến cố ‘Tín hiệu phát đi ban đầu là 1’. Suy ra $\overline{A}$ là biến cố ‘Tín hiệu phát đi ban đầu là 0’.
Theo giả thiết ta có: $P(A) = 0,6$ và $P(\overline{A}) = 0,4$.
Gọi $B$ là biến cố ‘Tín hiệu nhận được ở cuối trạm 2 là 1’. Ta cần tính $P(A|B)$.
Tính $P(B|A)$: (Xác suất nhận được 1 khi phát đi 1)
Tín hiệu không bị thay đổi sau 2 trạm nếu: Cả 2 trạm đều truyền đúng (xác suất $0,9 \times 0,9$), hoặc cả 2 trạm đều truyền sai (xác suất $0,1 \times 0,1$).
$\Rightarrow P(B|A) = 0,9 \times 0,9 + 0,1 \times 0,1 = 0,81 + 0,01 = 0,82$.
Tính $P(B|\overline{A})$: (Xác suất nhận được 1 khi phát đi 0)
Tín hiệu bị thay đổi từ 0 thành 1 sau 2 trạm nếu: Có đúng 1 trạm truyền sai (Trạm 1 sai, Trạm 2 đúng HOẶC Trạm 1 đúng, Trạm 2 sai).
$\Rightarrow P(B|\overline{A}) = 0,1 \times 0,9 + 0,9 \times 0,1 = 0,09 + 0,09 = 0,18$.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần:
$$P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = 0,6 \times 0,82 + 0,4 \times 0,18 = 0,492 + 0,072 = 0,564$$
Áp dụng định lý Bayes:
Xác suất tín hiệu ban đầu là 1 biết rằng tín hiệu cuối cùng nhận được là 1:
$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} = \frac{0,492}{0,564} = \frac{492}{564} = \frac{41}{47} \approx 87,23\%$$
3. Bài tập tương tự làm thêm (Có đáp án)
Dưới đây là 5 bài tập vận dụng cao về xác suất có điều kiện và định lý Bayes để các em rèn luyện:
- Bài tập 1: Một học sinh làm bài trắc nghiệm có 4 phương án lựa chọn. Xác suất để học sinh đó biết làm bài là 0,7. Nếu biết làm, học sinh sẽ chọn đúng. Nếu không biết làm, học sinh sẽ đoán mò ngẫu nhiên. Biết rằng học sinh đó đã trả lời đúng câu hỏi, tính xác suất để học sinh đó thực sự đã đoán mò.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A$ là biến cố ‘Học sinh biết làm’, $P(A) = 0,7 \Rightarrow P(\overline{A}) = 0,3$.
Gọi $B$ là biến cố ‘Trả lời đúng’. Ta có $P(B|A) = 1$ và $P(B|\overline{A}) = 0,25$.
$P(B) = 0,7 \times 1 + 0,3 \times 0,25 = 0,775$.
Xác suất học sinh đoán mò khi đã trả lời đúng là: $P(\overline{A}|B) = \frac{P(\overline{A})P(B|\overline{A})}{P(B)} = \frac{0,075}{0,775} = \frac{3}{31}$. - Bài tập 2: Một nhà máy có 3 phân xưởng A, B, C sản xuất lần lượt 30%, 20% và 50% tổng sản lượng. Tỉ lệ phế phẩm của các phân xưởng tương ứng là 1%, 2% và 4%. Kiểm tra ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng C sản xuất.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A, B, C$ là biến cố sản phẩm thuộc xưởng A, B, C. $P(A)=0,3; P(B)=0,2; P(C)=0,5$.
Gọi $D$ là biến cố ‘Sản phẩm là phế phẩm’.
$P(D) = 0,3 \times 0,01 + 0,2 \times 0,02 + 0,5 \times 0,04 = 0,003 + 0,004 + 0,020 = 0,027$.
Xác suất sản phẩm do xưởng C sản xuất: $P(C|D) = \frac{P(C)P(D|C)}{P(D)} = \frac{0,020}{0,027} = \frac{20}{27}$. - Bài tập 3: Một hệ thống lọc email (Spam Filter) nhận thấy từ ‘miễn phí’ xuất hiện trong 80% email rác và 5% email bình thường. Theo thống kê, có 20% tổng số email gửi đến là email rác. Nếu một email gửi đến có chứa từ ‘miễn phí’, xác suất để đó là email rác là bao nhiêu?
Xem đáp án và lời giải
Gọi $S$ là biến cố ‘Email rác’, $P(S)=0,2 \Rightarrow P(\overline{S})=0,8$.
Gọi $W$ là biến cố ‘Email có từ miễn phí’.
$P(W) = P(S)P(W|S) + P(\overline{S})P(W|\overline{S}) = 0,2 \times 0,8 + 0,8 \times 0,05 = 0,16 + 0,04 = 0,20$.
Xác suất email rác khi có từ miễn phí: $P(S|W) = \frac{0,16}{0,20} = 0,8$ (hay 80%). - Bài tập 4: Có 3 khẩu pháo phòng không cùng bắn độc lập vào một máy bay với xác suất trúng đích lần lượt là 0,4; 0,5 và 0,7. Nếu có 1 viên đạn trúng, xác suất máy bay rơi là 0,2; nếu có 2 viên trúng, xác suất rơi là 0,6; nếu cả 3 viên trúng thì máy bay chắc chắn rơi. Giả sử máy bay đã bị bắn rơi, tính xác suất để có đúng 2 viên đạn đã trúng máy bay.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $H_k$ là biến cố ‘Có đúng $k$ viên đạn trúng’.
$P(H_1) = 0,4 \times 0,5 \times 0,3 + 0,6 \times 0,5 \times 0,3 + 0,6 \times 0,5 \times 0,7 = 0,06 + 0,09 + 0,21 = 0,36$.
$P(H_2) = 0,4 \times 0,5 \times 0,3 + 0,4 \times 0,5 \times 0,7 + 0,6 \times 0,5 \times 0,7 = 0,06 + 0,14 + 0,21 = 0,41$.
$P(H_3) = 0,4 \times 0,5 \times 0,7 = 0,14$.
Gọi $R$ là biến cố ‘Máy bay rơi’.
$P(R) = 0,36 \times 0,2 + 0,41 \times 0,6 + 0,14 \times 1 = 0,072 + 0,246 + 0,14 = 0,458$.
Xác suất có đúng 2 viên trúng: $P(H_2|R) = \frac{0,246}{0,458} = \frac{123}{229}$. - Bài tập 5: Một loại bệnh hiếm gặp có tỉ lệ mắc trong dân số là 0,1%. Một bộ xét nghiệm có tỉ lệ phát hiện đúng người mắc bệnh là 99% (độ nhạy), nhưng cũng có tỉ lệ dương tính giả đối với người khỏe mạnh là 2%. Một người đi xét nghiệm cho kết quả dương tính. Tính xác suất người này thực sự mắc bệnh (Làm tròn đến phần trăm).
Xem đáp án và lời giải
Gọi $B$ là biến cố ‘Mắc bệnh’ $\Rightarrow P(B) = 0,001; P(\overline{B}) = 0,999$.
Gọi $D$ là biến cố ‘Xét nghiệm dương tính’.
$P(D|B) = 0,99$ và $P(D|\overline{B}) = 0,02$.
$P(D) = 0,001 \times 0,99 + 0,999 \times 0,02 = 0,00099 + 0,01998 = 0,02097$.
Xác suất thực sự mắc bệnh: $P(B|D) = \frac{0,00099}{0,02097} \approx 4,72\%$.
Lưu ý: Xác suất này rất thấp, cho thấy sự nguy hiểm của dương tính giả đối với các bệnh hiếm gặp!
Để lại một bình luận