Dạng toán: Bài toán xác suất sử dụng công thức Bayes
Công thức Bayes (Bayes’ theorem) là một định lý quan trọng trong lý thuyết xác suất, cho phép chúng ta tính xác suất của một biến cố (nguyên nhân) khi đã biết kết quả (hậu quả) xảy ra. Dạng toán này thường kết hợp với hệ đầy đủ các biến cố và công thức xác suất toàn phần.
Phương pháp giải
Bước 1: Xác định và gọi tên hệ đầy đủ các biến cố $A_1, A_2, …, A_n$ (thường là các nguyên nhân hoặc các trường hợp phân chia tổng thể). Đảm bảo $\sum P(A_i) = 1$.
Bước 2: Gọi $B$ là biến cố kiện (kết quả đã xảy ra). Tính các xác suất có điều kiện $P(B|A_i)$.
Bước 3: Tính xác suất toàn phần của $B$: $P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + … + P(A_n)P(B|A_n)$.
Bước 4: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất nguyên nhân $A_k$ khi biết $B$ đã xảy ra: $P(A_k|B) = \frac{P(B|A_k)P(A_k)}{P(B)}$.
Đề bài
Một công ty nhận thấy 40% email gửi đến là thư rác. Bộ lọc diệt virus của hệ thống chặn đúng 95% thư rác, nhưng cũng chặn nhầm 5% thư bình thường. Chọn ngẫu nhiên một email và nhận thấy nó đã bị bộ lọc chặn lại. Tính xác suất để email đó thực sự là thư rác.
Lời giải chi tiết
Gọi $A_1$ là biến cố ‘Email gửi đến là thư rác’. Ta có $P(A_1) = 40\% = 0.4$.
Gọi $A_2$ là biến cố ‘Email gửi đến là thư bình thường’. Ta có $P(A_2) = 1 – P(A_1) = 60\% = 0.6$.
Rõ ràng $A_1, A_2$ lập thành một hệ đầy đủ các biến cố.
Gọi $B$ là biến cố ‘Email bị bộ lọc chặn lại’.
Theo giả thiết, xác suất bộ lọc chặn đúng thư rác là: $P(B|A_1) = 95\% = 0.95$.
Xác suất bộ lọc chặn nhầm thư bình thường là: $P(B|A_2) = 5\% = 0.05$.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất để một email bất kỳ bị chặn là:
$P(B) = P(A_1).P(B|A_1) + P(A_2).P(B|A_2) = 0.4 \times 0.95 + 0.6 \times 0.05 = 0.38 + 0.03 = 0.41$.
Áp dụng công thức Bayes, xác suất để email bị chặn thực sự là thư rác là:
$P(A_1|B) = \frac{P(A_1).P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{0.38}{0.41} = \frac{38}{41} \approx 92.68\%$.
Kết luận: Xác suất để email đó thực sự là thư rác là $\frac{38}{41}$.
Bài tập làm thêm (Tự luyện)
Bài 1: Một kho hạt giống có 3 loại I, II, III với tỉ lệ tương ứng là 30%, 50% và 20%. Tỉ lệ nảy mầm của từng loại hạt giống lần lượt là 90%, 85% và 80%. Chọn ngẫu nhiên một hạt giống đem gieo và thấy nó nảy mầm. Tính xác suất để hạt giống đó thuộc loại I.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1, A_2, A_3$ là hạt giống thuộc loại I, II, III. $P(A_1)=0.3; P(A_2)=0.5; P(A_3)=0.2$.
Gọi $B$ là biến cố ‘Hạt giống nảy mầm’. $P(B|A_1)=0.9; P(B|A_2)=0.85; P(B|A_3)=0.8$.
$P(B) = 0.3 \times 0.9 + 0.5 \times 0.85 + 0.2 \times 0.8 = 0.27 + 0.425 + 0.16 = 0.855$.
$P(A_1|B) = \frac{0.27}{0.855} = \frac{270}{855} = \frac{6}{19}$.
Bài 2: Có 3 xạ thủ với xác suất bắn trúng bia lần lượt là 0.8; 0.7 và 0.6. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và yêu cầu người này bắn 1 viên đạn. Kết quả viên đạn trúng bia. Tính xác suất để người bắn là xạ thủ thứ nhất.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1, A_2, A_3$ là biến cố chọn xạ thủ 1, 2, 3. $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac{1}{3}$.
Gọi $B$ là biến cố ‘Bắn trúng bia’. $P(B|A_1)=0.8; P(B|A_2)=0.7; P(B|A_3)=0.6$.
$P(B) = \frac{1}{3}(0.8 + 0.7 + 0.6) = \frac{2.1}{3} = 0.7$.
$P(A_1|B) = \frac{\frac{1}{3} \times 0.8}{0.7} = \frac{0.8}{2.1} = \frac{8}{21}$.
Bài 3: Một ứng dụng giao đồ ăn có 3 nhà hàng đối tác A, B, C với tỉ lệ đơn hàng đảm nhận tương ứng là 45%, 35% và 20%. Tỉ lệ giao hàng trễ của các nhà hàng này lần lượt là 4%, 6% và 10%. Chọn ngẫu nhiên một đơn hàng và biết rằng đơn này bị giao trễ. Tính xác suất để đơn hàng đó do nhà hàng C chuẩn bị.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A, B, C$ là biến cố đơn hàng thuộc nhà hàng A, B, C. $P(A)=0.45; P(B)=0.35; P(C)=0.2$.
Gọi $T$ là biến cố ‘Giao trễ’. $P(T|A)=0.04; P(T|B)=0.06; P(T|C)=0.1$.
$P(T) = 0.45 \times 0.04 + 0.35 \times 0.06 + 0.2 \times 0.1 = 0.018 + 0.021 + 0.020 = 0.059$.
$P(C|T) = \frac{0.020}{0.059} = \frac{20}{59}$.
Bài 4: Một đội bóng có hai cầu thủ sút phạt đền là X và Y. Cầu thủ X thực hiện 60% số quả phạt đền với tỉ lệ thành công là 85%. Cầu thủ Y thực hiện 40% số quả phạt đền với tỉ lệ thành công là 75%. Trong một trận đấu, đội bóng được hưởng phạt đền nhưng sút trượt. Tính xác suất để quả phạt đền đó do cầu thủ Y thực hiện.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $X, Y$ là biến cố cầu thủ X, Y sút. $P(X)=0.6; P(Y)=0.4$.
Gọi $T$ là biến cố ‘Sút trượt’. $P(T|X) = 1 – 0.85 = 0.15; P(T|Y) = 1 – 0.75 = 0.25$.
$P(T) = 0.6 \times 0.15 + 0.4 \times 0.25 = 0.09 + 0.1 = 0.19$.
$P(Y|T) = \frac{0.1}{0.19} = \frac{10}{19}$.
Bài 5: Hai nhà cung cấp S1 và S2 cùng cung cấp vi mạch cho một xưởng lắp ráp với tỉ lệ tương ứng là 70% và 30%. Tỉ lệ vi mạch lỗi của S1 là 2%, của S2 là 5%. Chọn ngẫu nhiên một vi mạch trong xưởng và phát hiện nó bị lỗi. Tính xác suất để vi mạch này do S2 cung cấp.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1, A_2$ là vi mạch do S1, S2 cung cấp. $P(A_1)=0.7; P(A_2)=0.3$.
Gọi $L$ là biến cố ‘Vi mạch lỗi’. $P(L|A_1)=0.02; P(L|A_2)=0.05$.
$P(L) = 0.7 \times 0.02 + 0.3 \times 0.05 = 0.014 + 0.015 = 0.029$.
$P(A_2|L) = \frac{0.015}{0.029} = \frac{15}{29}$.
Để lại một bình luận