Một xấp vé số có 10 vé, trong đó 3 vé trúng thưởng. An mua ngẫu nhiên 2 vé, Bình mua ngẫu nhiên 2 vé từ 8 vé còn lại. Tính xác suất Bình mua được ít nhất 1 vé trúng thưởng, biết An đã mua được ít nhất 1 vé trúng thưởng

1. Đề bài

Một xấp vé số có 10 vé, trong đó có 3 vé trúng thưởng. An mua ngẫu nhiên 2 vé, sau đó Bình mua ngẫu nhiên 2 vé từ 8 vé còn lại. Tính xác suất để Bình mua được ít nhất 1 vé trúng thưởng, biết rằng An đã mua được ít nhất 1 vé trúng thưởng.

2. Phân tích và Phương pháp giải

Đây là bài toán thuộc dạng Xác suất có điều kiện mức độ Vận dụng cao. Để giải bài toán này, ta cần sử dụng công thức xác suất có điều kiện: $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ hoặc $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

Gọi $A$ là biến cố: “An mua được ít nhất 1 vé trúng thưởng” và $B$ là biến cố: “Bình mua được ít nhất 1 vé trúng thưởng”. Việc tính trực tiếp xác suất của các biến cố giao có thể phức tạp, ta nên kết hợp sử dụng biến cố đối để quá trình tính toán nhanh gọn và chính xác hơn.

3. Lời giải chi tiết

Cách 1: Giải bằng số phần tử thuận lợi

Bước 1: Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố A

Biến cố $A$ xảy ra khi An mua được 1 hoặc 2 vé trúng thưởng. Ta chia các trường hợp như sau:

• Trường hợp 1: An mua được 1 vé trúng, 1 vé trượt. Số cách mua của An là $C_3^1 \cdot C_7^1 = 21$. Sau đó, Bình mua ngẫu nhiên 2 vé từ 8 vé còn lại, số cách chọn của Bình là $C_8^2 = 28$. Số kết quả cho trường hợp này là: $21 \times 28 = 588$.
• Trường hợp 2: An mua được 2 vé trúng. Số cách mua của An là $C_3^2 \cdot C_7^0 = 3$. Sau đó, Bình mua ngẫu nhiên 2 vé từ 8 vé còn lại, số cách chọn của Bình là $C_8^2 = 28$. Số kết quả cho trường hợp này là: $3 \times 28 = 84$.

Suy ra $n(A) = 588 + 84 = 672$.

Bước 2: Tính số kết quả của $A \cap B$

Thay vì đếm trực tiếp, ta tính $n(A \cap \overline{B})$, trong đó $\overline{B}$ là biến cố “Bình mua 2 vé đều không trúng thưởng” (Bình trượt).

• Trường hợp 1: An mua 1 vé trúng, 1 vé trượt (21 cách). Khi đó trong 8 vé còn lại sẽ có 2 vé trúng và 6 vé trượt. Bình lấy 2 vé đều trượt từ 6 vé này, số cách của Bình là $C_6^2 = 15$. Số kết quả: $21 \times 15 = 315$.
• Trường hợp 2: An mua 2 vé trúng (3 cách). Khi đó trong 8 vé còn lại sẽ có 1 vé trúng và 7 vé trượt. Bình lấy 2 vé đều trượt từ 7 vé này, số cách của Bình là $C_7^2 = 21$. Số kết quả: $3 \times 21 = 63$.

Suy ra $n(A \cap \overline{B}) = 315 + 63 = 378$. Do đó: $n(A \cap B) = n(A) – n(A \cap \overline{B}) = 672 – 378 = 294$.

Bước 3: Tính xác suất cần tìm

Xác suất để Bình mua được ít nhất 1 vé trúng biết An đã trúng là: $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{294}{672} = \frac{7}{16}$.

---

Cách 2: Tư duy nhanh qua tính chất đối xứng của Xác suất

Áp dụng công thức: $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

Xác suất An mua được ít nhất 1 vé trúng: $P(A) = 1 – P(\overline{A}) = 1 – \frac{C_7^2}{C_{10}^2} = 1 – \frac{21}{45} = \frac{8}{15}$.

Ta tính $P(A \cap \overline{B})$ thông qua công thức nhân xác suất: $P(A \cap \overline{B}) = P(\overline{B}) \cdot P(A | \overline{B})$.

• Do tính chất đối xứng, xác suất Bình mua được 2 vé trượt khi bốc ngẫu nhiên từ 10 vé ban đầu cũng bằng xác suất của An: $P(\overline{B}) = \frac{C_7^2}{C_{10}^2} = \frac{7}{15}$.
• Khi biến cố $\overline{B}$ đã xảy ra (Bình đã rút 2 vé trượt ra khỏi xấp vé), trong 8 vé còn lại sẽ có đúng 3 vé trúng và 5 vé trượt. Xác suất An chọn 2 vé từ 8 vé này và được ít nhất 1 vé trúng là: $P(A | \overline{B}) = 1 – \frac{C_5^2}{C_8^2} = 1 – \frac{10}{28} = \frac{9}{14}$.

Suy ra: $P(A \cap \overline{B}) = \frac{7}{15} \cdot \frac{9}{14} = \frac{3}{10}$.

Vậy $P(A \cap B) = P(A) – P(A \cap \overline{B}) = \frac{8}{15} – \frac{3}{10} = \frac{7}{30}$.

Kết luận: $P(B|A) = \frac{7/30}{8/15} = \frac{7}{30} \cdot \frac{15}{8} = \frac{7}{16}$.

4. Bài tập tương tự tự luyện

Bài 1: Trong hộp có 12 viên bi, gồm 4 bi đỏ và 8 bi xanh. Bạn Hùng lấy ngẫu nhiên 2 viên, sau đó Dũng lấy ngẫu nhiên 2 viên. Biết rằng Hùng lấy được ít nhất 1 bi đỏ, tính xác suất để Dũng lấy được ít nhất 1 bi đỏ.

Xem đáp án và lời giải

Gọi A là biến cố Hùng lấy ít nhất 1 bi đỏ, B là biến cố Dũng lấy ít nhất 1 bi đỏ. Áp dụng Cách 2 ta có:

$P(A) = 1 – \frac{C_8^2}{C_{12}^2} = \frac{19}{33}$.

$P(\overline{B}) = \frac{C_8^2}{C_{12}^2} = \frac{14}{33}$. $P(A|\overline{B}) = 1 – \frac{C_6^2}{C_{10}^2} = \frac{2}{3}$.

$P(A \cap \overline{B}) = \frac{14}{33} \cdot \frac{2}{3} = \frac{28}{99} \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{19}{33} – \frac{28}{99} = \frac{29}{99}$.

Đáp án: $P(B|A) = \frac{29}{57}$.

Bài 2: Một bài kiểm tra gồm 15 câu hỏi, trong đó có 5 câu khó và 10 câu dễ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 câu để tạo đề thi chẵn, rồi lại chọn tiếp 3 câu từ 12 câu còn lại để tạo đề thi lẻ. Biết rằng đề thi chẵn có ít nhất 1 câu khó. Tính xác suất để đề thi lẻ cũng có ít nhất 1 câu khó.

Xem đáp án và lời giải

Gọi A là đề chẵn có $\ge 1$ câu khó, B là đề lẻ có $\ge 1$ câu khó.

$P(A) = 1 – \frac{C_{10}^3}{C_{15}^3} = \frac{67}{91}$.

$P(\overline{B}) = \frac{C_{10}^3}{C_{15}^3} = \frac{24}{91}$. $P(A|\overline{B}) = 1 – \frac{C_7^3}{C_{12}^3} = \frac{37}{44}$.

$P(A \cap \overline{B}) = \frac{24}{91} \cdot \frac{37}{44} = \frac{222}{1001} \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{67}{91} – \frac{222}{1001} = \frac{515}{1001}$.

Đáp án: $P(B|A) = \frac{515}{737}$.

Bài 3: Trong 8 lá thăm có 2 lá thăm trúng thưởng. Bạn X bốc 1 lá, sau đó Y bốc 1 lá, cuối cùng Z bốc 1 lá. Biết rằng X bốc không trúng thưởng, tính xác suất để Z bốc trúng thưởng.

Xem đáp án và lời giải

Gọi A là biến cố “X trượt”, B là biến cố “Z trúng”. Vì X trượt nên trong 7 lá thăm còn lại vẫn có đúng 2 lá trúng thưởng. Theo tính đối xứng của xác suất, cơ hội trúng của Z bốc một lá từ 7 lá này là không đổi.

Đáp án: $P(B|A) = \frac{2}{7}$.

Bài 4: Trong một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Lấy lần lượt từng sản phẩm một không hoàn lại. Biết sản phẩm thứ hai lấy ra là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm thứ nhất cũng là phế phẩm.

Xem đáp án và lời giải

Gọi A là “SP 2 là phế phẩm”, B là “SP 1 là phế phẩm”.

$P(A) = \frac{3}{10}$. $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = \frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{15}$.

Đáp án: $P(B|A) = \frac{1/15}{3/10} = \frac{2}{9}$. (Nhận xét nhanh: Vì vị trí thứ 2 là phế phẩm nên vị trí thứ 1 sẽ được chọn từ 9 sản phẩm còn lại gồm 2 phế phẩm và 7 chính phẩm, xác suất là $\frac{2}{9}$).

Bài 5: Một bộ bài tú lơ khơ gồm 52 lá. Người ta rút ngẫu nhiên 2 lá. Biết rằng trong 2 lá rút ra có ít nhất 1 lá là lá Át (A). Tính xác suất để cả 2 lá đều là lá Át.

Xem đáp án và lời giải

Gọi A là biến cố “Có ít nhất 1 lá A”, B là biến cố “Cả 2 lá A”. Nhận thấy $B \subset A \Rightarrow A \cap B = B$.

$P(A) = 1 – \frac{C_{48}^2}{C_{52}^2} = \frac{33}{221}$. $P(B) = \frac{C_4^2}{C_{52}^2} = \frac{1}{221}$.

Đáp án: $P(B|A) = \frac{1/221}{33/221} = \frac{1}{33}$.