Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

Dạng toán: Đếm số tự nhiên thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải

Để giải các bài toán lập số tự nhiên thỏa mãn các điều kiện về tính chẵn, lẻ hoặc chia hết, ta thường sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân. Các bước cơ bản như sau:

• Bước 1: Gọi số tự nhiên cần tìm dưới dạng tổng quát $\overline{a_1a_2…a_n}$ với $a_1 \neq 0$.
• Bước 2: Phân tích các điều kiện của bài toán để chọn chữ số quan trọng trước (ví dụ: chữ số hàng đơn vị đối với số chẵn/lẻ/chia hết, hoặc chữ số hàng cao nhất đối với điều kiện lớn/nhỏ hơn).
• Bước 3: Do $a_1 \neq 0$, nếu chữ số hàng đơn vị có thể là số $0$, ta nên chia thành $2$ trường hợp: trường hợp chữ số tận cùng bằng $0$ và trường hợp chữ số tận cùng khác $0$.
• Bước 4: Tính số cách chọn cho các vị trí còn lại bằng quy tắc nhân. Áp dụng quy tắc cộng cho các trường hợp để ra kết quả cuối cùng.

Đề bài

Từ các chữ số $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm $4$ chữ số đôi một khác nhau?

Lời giải chi tiết

Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng $\overline{abcd}$, với $a, b, c, d \in A$, $a \neq 0$ và $a, b, c, d$ đôi một khác nhau.

Vì $\overline{abcd}$ là số chẵn nên chữ số tận cùng $d$ phải thuộc tập $\{0, 2, 4, 6\}$.

Ta chia bài toán thành 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $d = 0$

• Có $1$ cách chọn $d$.
• Chữ số $a \neq 0$ và $a \neq d$, do đó $a$ có $7$ cách chọn (lấy từ tập $A \setminus \{0\}$).
• Chữ số $b$ có $6$ cách chọn (lấy từ tập $A \setminus \{a, d\}$).
• Chữ số $c$ có $5$ cách chọn (lấy từ tập $A \setminus \{a, b, d\}$).

Theo quy tắc nhân, số các số lập được trong trường hợp này là: $1 \times 7 \times 6 \times 5 = 210$ (số).

Trường hợp 2: $d \in \{2, 4, 6\}$

• Có $3$ cách chọn $d$.
• Chữ số $a \neq 0$ và $a \neq d$, do đó $a$ có $6$ cách chọn.
• Chữ số $b$ có $6$ cách chọn (lấy từ tập $A \setminus \{a, d\}$).
• Chữ số $c$ có $5$ cách chọn (lấy từ tập $A \setminus \{a, b, d\}$).

Theo quy tắc nhân, số các số lập được trong trường hợp này là: $3 \times 6 \times 6 \times 5 = 540$ (số).

Vậy, theo quy tắc cộng, tổng số các số tự nhiên chẵn gồm $4$ chữ số đôi một khác nhau có thể lập được là: $210 + 540 = 750$ (số).

Bài tập tương tự

Dưới đây là 5 bài tập tương tự để các em tự luyện tập. Hãy giải trước khi xem đáp án nhé!

Bài 1: Từ các chữ số $0, 1, 2, 3, 4, 5$, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm $3$ chữ số đôi một khác nhau?

Xem đáp án và lời giải

Lời giải: Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ ($a \neq 0$). Vì số chẵn nên $c \in \{0, 2, 4\}$.

– TH1: $c = 0 \Rightarrow$ có $1$ cách chọn $c$. $a$ có $5$ cách, $b$ có $4$ cách. Có $1 \times 5 \times 4 = 20$ số.

– TH2: $c \in \{2, 4\} \Rightarrow$ có $2$ cách chọn $c$. $a \neq 0, a \neq c$ nên có $4$ cách. $b$ có $4$ cách. Có $2 \times 4 \times 4 = 32$ số.

Vậy có $20 + 32 = 52$ số thỏa mãn.

Bài 2: Từ các chữ số $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm $4$ chữ số đôi một khác nhau?

Xem đáp án và lời giải

Lời giải: Gọi số cần tìm là $\overline{abcd}$. Vì là số lẻ nên $d \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ $\Rightarrow$ có $5$ cách chọn $d$.

Do $a \neq 0, a \neq d$ nên $a$ có $8$ cách chọn.

Chữ số $b$ có $8$ cách chọn, $c$ có $7$ cách chọn.

Vậy có: $5 \times 8 \times 8 \times 7 = 2240$ số thỏa mãn.

Bài 3: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm $5$ chữ số đôi một khác nhau?

Xem đáp án và lời giải

Lời giải: Tập các chữ số là $\{0, 1, …, 9\}$. Gọi số cần tìm là $\overline{abcde}$. Chữ số tận cùng $e \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$.

– TH1: $e = 0$ (1 cách). Số cách chọn $a, b, c, d$ là chỉnh hợp chập $4$ của $9$: $A_9^4 = 3024$. Có $3024$ số.

– TH2: $e \in \{2, 4, 6, 8\}$ (4 cách). $a \neq 0, a \neq e \Rightarrow a$ có $8$ cách. Chọn $b, c, d$ từ $8$ chữ số còn lại có $A_8^3 = 336$ cách. Có $4 \times 8 \times 336 = 10752$ số.

Tổng cộng có $3024 + 10752 = 13776$ số.

Bài 4: Từ các chữ số $1, 2, 3, 4, 5, 6$, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $4$ chữ số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số $2$?

Xem đáp án và lời giải

Lời giải: Để xếp số có mặt chữ số 2, ta thực hiện 2 công đoạn:

– Xếp chữ số $2$ vào 1 trong 4 vị trí: có $4$ cách.

– Chọn $3$ chữ số từ $5$ chữ số còn lại và xếp vào 3 vị trí trống: có $A_5^3 = 60$ cách.

Vậy số các số thỏa mãn là $4 \times 60 = 240$ số.

Bài 5: Từ các chữ số $0, 1, 2, 3, 4, 5$, lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $5$, gồm $4$ chữ số đôi một khác nhau?

Xem đáp án và lời giải

Lời giải: Gọi số cần tìm là $\overline{abcd}$. Để số này chia hết cho $5$ thì $d \in \{0, 5\}$.

– TH1: $d = 0$ (1 cách). Số cách chọn $a, b, c$ là $A_5^3 = 60$. Suy ra có $60$ số.

– TH2: $d = 5$ (1 cách). Do $a \neq 0$ nên $a$ có $4$ cách chọn. $b$ có $4$ cách, $c$ có $3$ cách. Suy ra có $1 \times 4 \times 4 \times 3 = 48$ số.

Tổng cộng có $60 + 48 = 108$ số.