Dạng toán: Tính xác suất của biến cố liên quan đến bài toán lập số
Phương pháp giải:
Để tính xác suất của biến cố $A$ theo định nghĩa cổ điển, ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Xác định không gian mẫu $\Omega$ và tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$.
- Bước 2: Xác định tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ và tính số phần tử $n(A)$.
- Bước 3: Tính xác suất của biến cố $A$ theo công thức: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$.
Lời giải chi tiết:
Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$
Mỗi số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được lập từ tập hợp $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử.
Do đó, số phần tử của tập hợp $S$ (cũng chính là số phần tử của không gian mẫu) là: $n(\Omega) = A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$.
Bước 2: Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$
Gọi $A$ là biến cố: “Số được chọn là số chẵn”.
Gọi số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số phân biệt có dạng $\overline{abc}$ (với $a, b, c \in X$; $a \neq b \neq c$).
- Vì $\overline{abc}$ là số chẵn nên chữ số tận cùng $c$ phải là số chẵn $\Rightarrow c \in \{2, 4, 6\}$. Vậy có $3$ cách chọn $c$.
- Sau khi chọn $c$, ta cần chọn 2 chữ số còn lại cho vị trí $a$ và $b$ từ 5 chữ số còn lại của tập $X$ và sắp xếp chúng. Số cách chọn và sắp xếp là: $A_5^2 = 5 \times 4 = 20$ cách.
Theo quy tắc nhân, số lượng các số tự nhiên chẵn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $n(A) = 3 \times 20 = 60$.
Bước 3: Tính xác suất
Xác suất để chọn được số chẵn là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$.
Bài tập tương tự để rèn luyện
Bài 1: Có 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào một dãy ghế ngang có 7 chỗ. Tính xác suất để 3 học sinh nữ luôn ngồi cạnh nhau.
Bài 2: Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 lá bài từ bộ bài tú lơ khơ 52 lá. Tính xác suất để rút được 2 lá Át (A).
Bài 3: Một tổ gồm 10 người, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người để tham gia trực nhật. Tính xác suất để 3 người được chọn có đúng 2 nam.
Bài 4: Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần liên tiếp. Tính xác suất để có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp (S).
Bài 5: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không vượt quá 50. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 5.
Xem đáp án và lời giải
Bài 1: Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega) = 7!$. Gọi $A$ là biến cố “3 nữ ngồi cạnh nhau”. Coi 3 nữ là 1 nhóm (có $3!$ cách xếp). Xếp nhóm này cùng với 4 nam có $5!$ cách. Suy ra $n(A) = 3! \times 5!$. Xác suất $P(A) = \frac{3! \times 5!}{7!} = \frac{1}{7}$.
Bài 2: Không gian mẫu $n(\Omega) = C_{52}^2 = 1326$. Gọi $B$ là biến cố “Rút được 2 lá Át”. Bộ bài có 4 lá Át nên $n(B) = C_4^2 = 6$. Xác suất $P(B) = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$.
Bài 3: Không gian mẫu $n(\Omega) = C_{10}^3 = 120$. Gọi $C$ là biến cố “Chọn được đúng 2 nam”. Ta chọn 2 nam từ 6 nam và 1 nữ từ 4 nữ, có $n(C) = C_6^2 \times C_4^1 = 15 \times 4 = 60$ cách. Xác suất $P(C) = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$.
Bài 4: Không gian mẫu $n(\Omega) = 2^3 = 8$. Gọi $D$ là biến cố “Có đúng 2 lần mặt sấp”. Tập hợp kết quả thuận lợi $D = \{SSN, SNS, NSS\}$ nên $n(D) = 3$. Xác suất $P(D) = \frac{3}{8}$.
Bài 5: Không gian mẫu $n(\Omega) = 50$. Gọi $E$ là biến cố “Số được chọn chia hết cho 5”. Các số chia hết cho 5 từ 1 đến 50 là dãy $5, 10, …, 50$. Số lượng số hạng là $\frac{50 – 5}{5} + 1 = 10$ số nên $n(E) = 10$. Xác suất $P(E) = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$.
Để lại một bình luận