Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

Dạng toán: Tính xác suất của biến cố liên quan đến bài toán lập số

Phương pháp giải:

Để tính xác suất của biến cố $A$ theo định nghĩa cổ điển, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Xác định không gian mẫu $\Omega$ và tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$.
• Bước 2: Xác định tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ và tính số phần tử $n(A)$.
• Bước 3: Tính xác suất của biến cố $A$ theo công thức: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$

Mỗi số tự nhiên gồm 3 chữ số phân biệt được lập từ tập hợp $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử.

Do đó, số phần tử của tập hợp $S$ (cũng chính là số phần tử của không gian mẫu) là: $n(\Omega) = A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$.

Bước 2: Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$

Gọi $A$ là biến cố: “Số được chọn là số chẵn”.

Gọi số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số phân biệt có dạng $\overline{abc}$ (với $a, b, c \in X$; $a \neq b \neq c$).

• Vì $\overline{abc}$ là số chẵn nên chữ số tận cùng $c$ phải là số chẵn $\Rightarrow c \in \{2, 4, 6\}$. Vậy có $3$ cách chọn $c$.
• Sau khi chọn $c$, ta cần chọn 2 chữ số còn lại cho vị trí $a$ và $b$ từ 5 chữ số còn lại của tập $X$ và sắp xếp chúng. Số cách chọn và sắp xếp là: $A_5^2 = 5 \times 4 = 20$ cách.

Theo quy tắc nhân, số lượng các số tự nhiên chẵn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $n(A) = 3 \times 20 = 60$.

Bước 3: Tính xác suất

Xác suất để chọn được số chẵn là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$.

---

Bài tập tương tự để rèn luyện

Bài 1: Có 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào một dãy ghế ngang có 7 chỗ. Tính xác suất để 3 học sinh nữ luôn ngồi cạnh nhau.

Bài 2: Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 lá bài từ bộ bài tú lơ khơ 52 lá. Tính xác suất để rút được 2 lá Át (A).

Bài 3: Một tổ gồm 10 người, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người để tham gia trực nhật. Tính xác suất để 3 người được chọn có đúng 2 nam.

Bài 4: Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần liên tiếp. Tính xác suất để có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp (S).

Bài 5: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không vượt quá 50. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 5.

Xem đáp án và lời giải

Bài 1: Số phần tử không gian mẫu $n(\Omega) = 7!$. Gọi $A$ là biến cố “3 nữ ngồi cạnh nhau”. Coi 3 nữ là 1 nhóm (có $3!$ cách xếp). Xếp nhóm này cùng với 4 nam có $5!$ cách. Suy ra $n(A) = 3! \times 5!$. Xác suất $P(A) = \frac{3! \times 5!}{7!} = \frac{1}{7}$.

Bài 2: Không gian mẫu $n(\Omega) = C_{52}^2 = 1326$. Gọi $B$ là biến cố “Rút được 2 lá Át”. Bộ bài có 4 lá Át nên $n(B) = C_4^2 = 6$. Xác suất $P(B) = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$.

Bài 3: Không gian mẫu $n(\Omega) = C_{10}^3 = 120$. Gọi $C$ là biến cố “Chọn được đúng 2 nam”. Ta chọn 2 nam từ 6 nam và 1 nữ từ 4 nữ, có $n(C) = C_6^2 \times C_4^1 = 15 \times 4 = 60$ cách. Xác suất $P(C) = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$.

Bài 4: Không gian mẫu $n(\Omega) = 2^3 = 8$. Gọi $D$ là biến cố “Có đúng 2 lần mặt sấp”. Tập hợp kết quả thuận lợi $D = \{SSN, SNS, NSS\}$ nên $n(D) = 3$. Xác suất $P(D) = \frac{3}{8}$.

Bài 5: Không gian mẫu $n(\Omega) = 50$. Gọi $E$ là biến cố “Số được chọn chia hết cho 5”. Các số chia hết cho 5 từ 1 đến 50 là dãy $5, 10, …, 50$. Số lượng số hạng là $\frac{50 – 5}{5} + 1 = 10$ số nên $n(E) = 10$. Xác suất $P(E) = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$.