Một công ty tung ra một chiến dịch quảng cáo cho sản phẩm mới. Tỷ lệ khách hàng nhìn thấy quảng cáo là 40%. Theo thống kê, nếu một khách hàng nhìn thấy quảng cáo, xác suất họ mua sản phẩm là 35%. Nếu không nhìn thấy quảng cáo, xác suất mua sản phẩm chỉ là 5%. Chọn ngẫu nhiên một khách hàng đã mua sản phẩm. Tính xác suất để khách hàng đó đã nhìn thấy quảng cáo.

1. Dạng toán và Phương pháp giải

Dạng toán: Bài toán ứng dụng công thức Xác suất toàn phần và công thức Bayes (Chương trình Toán 12).

Phương pháp giải:

• Bước 1: Gọi các biến cố cơ bản tạo thành một hệ đầy đủ. Trong bài toán này, đó là biến cố nhìn thấy quảng cáo và không nhìn thấy quảng cáo.
• Bước 2: Gọi biến cố chính yếu mà đề bài quan tâm (Khách hàng mua sản phẩm).
• Bước 3: Sử dụng công thức xác suất toàn phần để tính xác suất của biến cố chính. Cho hệ đầy đủ $B_1, B_2$, ta có: $$P(A) = P(B_1) \cdot P(A|B_1) + P(B_2) \cdot P(A|B_2)$$
• Bước 4: Sử dụng công thức Bayes để tính xác suất điều kiện ngược lại (xác suất nguyên nhân khi biết kết quả). $$P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{P(A)}$$

2. Lời giải chi tiết

Gọi $B$ là biến cố: “Khách hàng nhìn thấy quảng cáo”. Suy ra $\overline{B}$ là biến cố: “Khách hàng không nhìn thấy quảng cáo”.

Theo đề bài ta có: $P(B) = 0,40$, suy ra $P(\overline{B}) = 1 – 0,40 = 0,60$.

Gọi $A$ là biến cố: “Khách hàng mua sản phẩm”.

Xác suất khách hàng mua sản phẩm với điều kiện đã xem quảng cáo là: $P(A|B) = 0,35$.

Xác suất khách hàng mua sản phẩm với điều kiện không xem quảng cáo là: $P(A|\overline{B}) = 0,05$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất để một khách hàng chọn ngẫu nhiên mua sản phẩm là:

$$P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\overline{B}) \cdot P(A|\overline{B}) = 0,40 \cdot 0,35 + 0,60 \cdot 0,05 = 0,14 + 0,03 = 0,17$$

Đề bài yêu cầu tính xác suất để khách hàng đã nhìn thấy quảng cáo, biết rằng khách hàng đó đã mua sản phẩm. Ta áp dụng công thức Bayes:

$$P(B|A) = \frac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(A)} = \frac{0,14}{0,17} = \frac{14}{17} \approx 0,8235$$

Kết luận: Xác suất để khách hàng đó đã nhìn thấy quảng cáo là $\frac{14}{17}$ (khoảng 82,35%).

3. Bài tập tương tự tự luyện

Bài 1: Một nhà đầu tư phân bổ vốn vào 3 quỹ: Quỹ A (20%), Quỹ B (50%), và Quỹ C (30%). Tỷ lệ đạt lợi nhuận kỳ vọng của các quỹ lần lượt là 15%, 10% và 8%. Cuối năm, nhà đầu tư báo cáo có một khoản đầu tư đạt lợi nhuận kỳ vọng. Tính xác suất để khoản lợi nhuận đó đến từ Quỹ A.

Bài 2: Khối THPT của một trường học gồm học sinh lớp 10 (chiếm 40%), lớp 11 (chiếm 35%) và lớp 12 (chiếm 25%). Tỷ lệ học sinh đạt danh hiệu xuất sắc của từng khối lớp lần lượt là 10%, 12% và 15%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh xuất sắc của trường, tính xác suất để học sinh đó là học sinh lớp 12.

Bài 3: Một hệ thống lọc thư điện tử nhận thấy 60% email gửi đến là thư rác (spam). Bộ lọc phát hiện và chặn đúng 90% số thư rác, nhưng cũng chặn nhầm 5% số thư bình thường. Biết rằng một email vừa bị chặn, tính xác suất để đó thực sự là thư rác.

Bài 4: Trong một thành phố có hai hãng taxi: hãng Xanh (chiếm 85% số xe) và hãng Biển (chiếm 15% số xe). Một nhân chứng báo cáo nhìn thấy một chiếc taxi hãng Biển gây tai nạn. Kiểm tra lại cho thấy, trong điều kiện ánh sáng lúc đó, nhân chứng nhận dạng đúng màu xe với xác suất 80%. Tính xác suất để chiếc xe gây tai nạn thực sự là taxi hãng Biển.

Bài 5: Có hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu. Xạ thủ 1 bắn trúng với xác suất 80%, xạ thủ 2 bắn trúng với xác suất 70%. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ (xác suất chọn như nhau) và cho người đó bắn 1 viên đạn. Biết rằng viên đạn trúng mục tiêu, tính xác suất để viên đạn đó do xạ thủ 1 bắn.