Chinh Phục Toàn Diện Chuyên Đề Bài Tập Dãy Số – Toán 11: Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao Kèm Lời Giải Chi Tiết

Phân tích tư duy: Dãy số có dạng phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Đối với hàm phân thức, phương pháp tối ưu và ít sai sót nhất là xét hiệu $H = u_{n+1} – u_n$. Ta cần chứng minh hiệu này luôn dương hoặc luôn âm với mọi $n \ge 1$.

Lời giải:

Bước 1: Tính số hạng thứ $n+1$. Ta thay $n$ bằng $(n+1)$ vào công thức:

$$u_{n+1} = \frac{3(n+1) – 1}{(n+1) + 2} = \frac{3n + 3 – 1}{n + 3} = \frac{3n + 2}{n + 3}$$

Bước 2: Xét hiệu $H = u_{n+1} – u_n$:

$$H = \frac{3n + 2}{n + 3} – \frac{3n – 1}{n + 2}$$

Bước 3: Quy đồng mẫu số và rút gọn:

$$H = \frac{(3n + 2)(n + 2) – (3n – 1)(n + 3)}{(n + 3)(n + 2)}$$

$$H = \frac{(3n^2 + 6n + 2n + 4) – (3n^2 + 9n – n – 3)}{(n + 3)(n + 2)}$$

$$H = \frac{(3n^2 + 8n + 4) – (3n^2 + 8n – 3)}{(n + 3)(n + 2)}$$

$$H = \frac{7}{(n + 3)(n + 2)}$$

Bước 4: Đánh giá dấu của hiệu $H$.

Vì $n \in \mathbb{N}^*$ (tức là $n \ge 1$) nên $(n + 3) > 0$ và $(n + 2) > 0$. Do đó, mẫu số luôn dương.

Tử số bằng $7 > 0$. Suy ra $H = u_{n+1} – u_n > 0 \Rightarrow u_{n+1} > u_n \forall n \in \mathbb{N}^*$.

Kết luận: Dãy số $(u_n)$ đã cho là dãy số tăng.

Phân tích tư duy: Khi công thức tổng quát của dãy số chứa lũy thừa (như $3^n, 2^n$) và giai thừa ($n!$), việc xét hiệu sẽ dẫn đến những biểu thức rất phức tạp. Thay vào đó, ta nhận thấy mọi số hạng $u_n$ đều dương. Vì vậy, ta sẽ sử dụng phương pháp xét thương số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.

Lời giải:

Dễ thấy $u_n > 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Ta có số hạng thứ $n+1$ là: $$u_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{2^{n+1} \cdot (n+1)!}$$

Xét thương số $T = \frac{u_{n+1}}{u_n}$:

$$T = \frac{3^{n+1}}{2^{n+1} \cdot (n+1)!} : \frac{3^n}{2^n \cdot n!} = \frac{3^{n+1}}{2^{n+1} \cdot (n+1)!} \cdot \frac{2^n \cdot n!}{3^n}$$

Rút gọn các thành phần tương ứng:

$$T = \left( \frac{3^{n+1}}{3^n} \right) \cdot \left( \frac{2^n}{2^{n+1}} \right) \cdot \left( \frac{n!}{(n+1)!} \right)$$

$$T = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{3}{2(n+1)}$$

Bây giờ, ta cần so sánh $T$ với $1$.

Với $n \in \mathbb{N}^*$ ($n \ge 1$), ta có $n + 1 \ge 2 \Rightarrow 2(n+1) \ge 4$.

Do đó, $T = \frac{3}{2(n+1)} \le \frac{3}{4} < 1$.

Vì $T < 1 \Rightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n} < 1 \Rightarrow u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \ge 1$.

Kết luận: Dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm.

Phân tích tư duy: Để chứng minh một dãy số bị chặn, ta cần tìm hai hằng số $m$ và $M$ sao cho $m \le u_n \le M$. Bí quyết đối với các dãy số phân thức bậc hai như thế này là thực hiện phép chia đa thức tử cho đa thức mẫu để tách phần nguyên, từ đó dễ dàng đánh giá giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Lời giải:

Ta biến đổi công thức $u_n$ như sau:

$$u_n = \frac{2n^2 – 1}{n^2 + 1} = \frac{2(n^2 + 1) – 3}{n^2 + 1} = 2 – \frac{3}{n^2 + 1}$$

1. Đánh giá tính bị chặn trên:

Vì $n^2 + 1 > 0$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$, nên phân số $\frac{3}{n^2 + 1} > 0$.

Suy ra: $u_n = 2 – \frac{3}{n^2 + 1} < 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi $M = 2$.

2. Đánh giá tính bị chặn dưới:

Ta có $n \ge 1 \Rightarrow n^2 \ge 1 \Rightarrow n^2 + 1 \ge 2$.

Nghịch đảo hai vế (do hai vế đều dương), ta được: $\frac{1}{n^2 + 1} \le \frac{1}{2}$.

Nhân hai vế với $-3$ (nhớ đổi chiều bất đẳng thức): $ -\frac{3}{n^2 + 1} \ge -\frac{3}{2}$.

Cộng $2$ vào hai vế: $2 – \frac{3}{n^2 + 1} \ge 2 – \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

Tức là $u_n \ge \frac{1}{2}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $m = \frac{1}{2}$.

Kết luận: Vì $\frac{1}{2} \le u_n < 2 \forall n \in \mathbb{N}^*$, nên dãy số $(u_n)$ là dãy số bị chặn.

Phân tích tư duy: Đây là dạng toán tổng của một dãy số (chuỗi số). Ta không thể cộng trực tiếp, mà phải sử dụng phương pháp sai phân (telescoping sum). Cốt lõi là phân tích số hạng tổng quát thành hiệu của hai phân số liên tiếp để triệt tiêu các phần tử ở giữa.

Lời giải:

Ta xét số hạng tổng quát của chuỗi: $\frac{1}{k(k+1)}$.

Áp dụng hằng đẳng thức phân thức (phân tích thành phân số tối giản):

$$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{(k+1) – k}{k(k+1)} = \frac{k+1}{k(k+1)} – \frac{k}{k(k+1)} = \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1}$$

Áp dụng công thức này cho từng số hạng của tổng $S_n$:

$$S_n = 1 + \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + … + \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right)$$

Nhận thấy các số hạng trung gian tự động triệt tiêu lẫn nhau ($-\frac{1}{2}$ triệt tiêu với $+\frac{1}{2}$, v.v.), ta thu được:

$$S_n = 1 + 1 – \frac{1}{n+1} = 2 – \frac{1}{n+1}$$

Vì $n \ge 1$ nên $\frac{1}{n+1} > 0$.

Do đó, $S_n = 2 – \frac{1}{n+1} < 2$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.

Kết luận: Dãy số $(S_n)$ bị chặn trên bởi $2$. (Bên cạnh đó, vì $S_n$ là tổng các số dương nên $S_n > 0$, suy ra dãy số này bị chặn dưới bởi 0, nên đây là một dãy số bị chặn hoàn toàn).

Phân tích tư duy: Dãy số có dạng $u_{n+1} = a \cdot u_n + b$. Nếu $b=0$, đây là cấp số nhân. Nếu $a=1$, đây là cấp số cộng. Tuy nhiên ở đây $a=3, b=4$. Phương pháp chuẩn mực nhất là tịnh tiến dãy số (đặt dãy số phụ) để khử hằng số $b=4$, biến nó thành một cấp số nhân thuần túy.

Lời giải:

Bước 1: Tìm hằng số tịnh tiến. Ta giả sử tồn tại một số thực $c$ sao cho nếu đặt $v_n = u_n + c$, ta sẽ thu được một cấp số nhân dạng $v_{n+1} = 3v_n$.

Ta có: $v_{n+1} = u_{n+1} + c = (3u_n + 4) + c = 3u_n + 4 + c$.

Mặt khác, $3v_n = 3(u_n + c) = 3u_n + 3c$.

Để $v_{n+1} = 3v_n$, ta cần có: $4 + c = 3c \Rightarrow 2c = 4 \Rightarrow c = 2$.

Bước 2: Sử dụng dãy số phụ. Đặt $v_n = u_n + 2$.

Theo chứng minh trên, ta có $v_{n+1} = 3v_n$.

Như vậy, dãy số $(v_n)$ là một cấp số nhân với công bội $q = 3$.

Số hạng đầu tiên của cấp số nhân này là: $v_1 = u_1 + 2 = 2 + 2 = 4$.

Bước 3: Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân:

$$v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = 4 \cdot 3^{n-1}$$

Bước 4: Trả lại biến $u_n$.

Vì $v_n = u_n + 2 \Rightarrow u_n = v_n – 2$.

Suy ra: $$u_n = 4 \cdot 3^{n-1} – 2$$

Kết luận: Công thức số hạng tổng quát của dãy số là $u_n = 4 \cdot 3^{n-1} – 2$. Ta có thể thử lại với $n=1 \Rightarrow u_1 = 4 \cdot 3^0 – 2 = 2$ (đúng với giả thiết). Với $n=2 \Rightarrow u_2 = 4 \cdot 3^1 – 2 = 10$. Tính theo hệ thức truy hồi: $u_2 = 3u_1 + 4 = 3(2) + 4 = 10$ (Chính xác!).