Một hộp chứa 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi. Tính xác suất để 2 viên bi lấy ra có cùng màu.

Đề bài

Một hộp chứa 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 3 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi. Tính xác suất để 2 viên bi lấy ra có cùng màu.

Dạng toán

Tính xác suất của biến cố bằng công thức cộng xác suất cho các biến cố xung khắc (Toán 11).

Phương pháp giải

• Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$ là số cách chọn ra 2 viên bi từ tổng số bi.
• Bước 2: Gọi $A$ là biến cố “2 viên bi lấy ra có cùng màu”. Chia biến cố $A$ thành các biến cố thành phần xung khắc với nhau: $A_1$ (2 bi xanh), $A_2$ (2 bi đỏ), $A_3$ (2 bi vàng).
• Bước 3: Tính số phần tử của từng biến cố thành phần $n(A_1), n(A_2), n(A_3)$ và suy ra xác suất tương ứng.
• Bước 4: Áp dụng công thức cộng xác suất cho các biến cố xung khắc: $P(A) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3)$ hoặc tính trực tiếp qua số kết quả thuận lợi.

Lời giải chi tiết

Tổng số viên bi trong hộp là: $5 + 4 + 3 = 12$ (viên bi).

Phép thử: Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp chứa 12 viên bi. Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{12}^2 = 66$.

Gọi $A$ là biến cố: “2 viên bi lấy ra có cùng màu”. Các trường hợp của biến cố $A$ bao gồm:

• Trường hợp 1: Lấy được 2 viên bi màu xanh (gọi là biến cố $A_1$). Số cách chọn là $n(A_1) = C_5^2 = 10$.
• Trường hợp 2: Lấy được 2 viên bi màu đỏ (gọi là biến cố $A_2$). Số cách chọn là $n(A_2) = C_4^2 = 6$.
• Trường hợp 3: Lấy được 2 viên bi màu vàng (gọi là biến cố $A_3$). Số cách chọn là $n(A_3) = C_3^2 = 3$.

Do $A_1, A_2, A_3$ là các biến cố đôi một xung khắc, số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $n(A) = n(A_1) + n(A_2) + n(A_3) = 10 + 6 + 3 = 19$.

Vậy xác suất để 2 viên bi lấy ra có cùng màu là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{19}{66}$.

Bài tập tương tự làm thêm

Dưới đây là 5 bài tập tương tự để rèn luyện thêm về công thức cộng xác suất, có kèm đáp án chi tiết.

Bài 1: Một hộp có 6 bi trắng và 4 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất để 3 bi lấy ra có cùng màu.

Xem đáp án và lời giải

Không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{10}^3 = 120$.

Gọi $A$ là biến cố “3 bi cùng màu”. Biến cố $A$ gồm 2 trường hợp xung khắc:

– 3 bi trắng: $C_6^3 = 20$ cách.

– 3 bi đen: $C_4^3 = 4$ cách.

Số kết quả thuận lợi cho $A$: $n(A) = 20 + 4 = 24$.

Xác suất $P(A) = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$.

Bài 2: Một tổ có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để trực nhật. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có cùng giới tính.

Xem đáp án và lời giải

Không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{12}^4 = 495$.

Gọi $B$ là biến cố “4 học sinh cùng giới tính”. Hai trường hợp xung khắc:

– 4 nam: $C_7^4 = 35$ cách.

– 4 nữ: $C_5^4 = 5$ cách.

Số kết quả thuận lợi cho $B$: $n(B) = 35 + 5 = 40$.

Xác suất $P(B) = \frac{40}{495} = \frac{8}{99}$.

Bài 3: Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất 2 lần liên tiếp. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trong 2 lần gieo bằng 7 hoặc 8.

Xem đáp án và lời giải

Không gian mẫu: $n(\Omega) = 6 \times 6 = 36$.

Gọi $A$ là biến cố “tổng chấm bằng 7”, $B$ là biến cố “tổng chấm bằng 8”. $A$ và $B$ xung khắc.

Các kết quả thuận lợi cho $A$: $(1;6), (6;1), (2;5), (5;2), (3;4), (4;3) \Rightarrow n(A) = 6$.

Các kết quả thuận lợi cho $B$: $(2;6), (6;2), (3;5), (5;3), (4;4) \Rightarrow n(B) = 5$.

Xác suất cần tìm: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{6}{36} + \frac{5}{36} = \frac{11}{36}$.

Bài 4: Từ một bộ bài tú lơ khơ 52 lá, rút ngẫu nhiên đồng thời 2 lá bài. Tính xác suất để rút được 2 lá bài đều là Át hoặc đều là K.

Xem đáp án và lời giải

Không gian mẫu: $n(\Omega) = C_{52}^2 = 1326$.

Biến cố $A$: “2 lá Át”, $n(A) = C_4^2 = 6$.

Biến cố $B$: “2 lá K”, $n(B) = C_4^2 = 6$.

Xác suất cần tìm: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{6}{1326} + \frac{6}{1326} = \frac{12}{1326} = \frac{2}{221}$.

Bài 5: Một lẵng hoa có 5 bông hồng đỏ, 4 bông hồng vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 bông. Tính xác suất để 3 bông chọn ra có ít nhất 2 bông màu đỏ.

Xem đáp án và lời giải

Không gian mẫu: $n(\Omega) = C_9^3 = 84$.

Gọi $X$ là biến cố “có ít nhất 2 bông hồng đỏ”. Các trường hợp xung khắc:

– 2 đỏ, 1 vàng: $C_5^2 \times C_4^1 = 10 \times 4 = 40$ cách.

– 3 đỏ: $C_5^3 = 10$ cách.

Xác suất $P(X) = \frac{40 + 10}{84} = \frac{50}{84} = \frac{25}{42}$.