Một công ty bảo hiểm chia khách hàng thành 3 nhóm rủi ro: Thấp, Trung bình, Cao, với tỉ lệ lần lượt là 60%, 30% và 10%. Xác suất xảy ra tai nạn trong vòng 1 năm của mỗi nhóm tương ứng là 1%, 5% và 15%. Chọn ngẫu nhiên một khách hàng và biết rằng người này đã gặp tai nạn trong năm. Tính xác suất để khách hàng này thuộc nhóm rủi ro Cao.

Dạng toán

Bài toán tính xác suất có điều kiện sử dụng công thức Bayes (Xác suất nguyên nhân).

Phương pháp giải

• Bước 1: Gọi biến cố $A$ là biến cố đã xảy ra theo giả thiết của bài toán.
• Bước 2: Chỉ ra hệ đầy đủ các biến cố $H_1, H_2, \dots, H_n$ tương ứng với các trường hợp/nguyên nhân có thể xảy ra và tính các xác suất tiên nghiệm $P(H_i)$.
• Bước 3: Tính các xác suất có điều kiện $P(A|H_i)$ và sử dụng công thức xác suất toàn phần để tính $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) \cdot P(A|H_i)$.
• Bước 4: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất hậu nghiệm của nguyên nhân $H_k$ khi biết $A$ đã xảy ra: $P(H_k|A) = \frac{P(H_k) \cdot P(A|H_k)}{P(A)}$.

Đề bài

Một công ty bảo hiểm chia khách hàng thành 3 nhóm rủi ro: Thấp, Trung bình, Cao, với tỉ lệ lần lượt là 60%, 30% và 10%. Xác suất xảy ra tai nạn trong vòng 1 năm của mỗi nhóm tương ứng là 1%, 5% và 15%. Chọn ngẫu nhiên một khách hàng và biết rằng người này đã gặp tai nạn trong năm. Tính xác suất để khách hàng này thuộc nhóm rủi ro Cao.

Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là biến cố: “Khách hàng được chọn gặp tai nạn trong năm”.

Gọi $H_1, H_2, H_3$ lần lượt là các biến cố: “Khách hàng thuộc nhóm rủi ro Thấp, Trung bình, Cao”. Hệ biến cố $H_1, H_2, H_3$ là một hệ đầy đủ.

Theo giả thiết, ta có các xác suất tiên nghiệm:

• $P(H_1) = 60\% = 0.6$
• $P(H_2) = 30\% = 0.3$
• $P(H_3) = 10\% = 0.1$

Xác suất xảy ra tai nạn ứng với từng nhóm rủi ro là:

• $P(A|H_1) = 1\% = 0.01$
• $P(A|H_2) = 5\% = 0.05$
• $P(A|H_3) = 15\% = 0.15$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất để một khách hàng bất kỳ gặp tai nạn là:

$$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3)$$

$$P(A) = 0.6 \times 0.01 + 0.3 \times 0.05 + 0.1 \times 0.15 = 0.006 + 0.015 + 0.015 = 0.036$$

Ta cần tính xác suất khách hàng thuộc nhóm rủi ro Cao biết rằng người đó đã gặp tai nạn, tức là tính $P(H_3|A)$. Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$$P(H_3|A) = \frac{P(H_3)P(A|H_3)}{P(A)} = \frac{0.1 \times 0.15}{0.036} = \frac{0.015}{0.036} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$$

Kết luận: Xác suất để khách hàng này thuộc nhóm rủi ro Cao là $\frac{5}{12}$.

Bài tập tự luyện tương tự

Bài 1: Một hộp thư điện tử nhận được 40% thư là spam. Phần mềm lọc thư rác nhận diện đúng 90% thư spam và nhận diện nhầm 5% thư thường thành spam. Một email bị đánh dấu là spam. Tính xác suất đó thực sự là thư spam.

Bài 2: Trong thành phố có 2 hãng taxi: hãng Xanh (85% số xe) và hãng Đỏ (15% số xe). Một nhân chứng thấy một vụ tai nạn và khai rằng xe gây tai nạn là xe Đỏ. Biết khả năng nhận diện đúng màu xe trong điều kiện đó là 80% (tức là xe màu gì thì nhận diện đúng màu đó với xác suất 80%). Tính xác suất xe gây tai nạn thực sự là xe Đỏ.

Bài 3: Thống kê cho thấy 20% số ngày trong mùa đông có tuyết rơi. Nếu có tuyết, xác suất một chuyến bay bị hoãn là 70%. Nếu không có tuyết, xác suất chuyến bay bị hoãn là 10%. Chọn ngẫu nhiên một ngày và biết hôm đó chuyến bay bị hoãn. Tính xác suất ngày hôm đó có tuyết rơi.

Bài 4: Chuyên gia dự báo thị trường ngày mai có 3 kịch bản: Tăng (40%), Đi ngang (30%), Giảm (30%). Xác suất cổ phiếu X tăng giá trong các kịch bản tương ứng là 80%, 40% và 10%. Cuối ngày, cổ phiếu X thực sự tăng giá. Tính xác suất kịch bản thị trường Đi ngang đã xảy ra.

Bài 5: Một nhà hàng có 60% khách hàng là người địa phương và 40% là khách du lịch. Tỉ lệ để lại đánh giá 5 sao của người địa phương là 20%, của khách du lịch là 50%. Chọn ngẫu nhiên một đánh giá 5 sao. Tính xác suất đánh giá này do khách du lịch để lại.