Hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ nghịch biến trên các khoảng:
A. $\left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
B. $(1;+\infty)$.
C. $(-1;+\infty)$.
D. $\mathbb{R}$
Phân tích câu hỏi mẫu
Dạng bài: Tính đơn điệu của hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất.
Kiến thức liên quan:
– Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ (với $ad-bc \neq 0$) có tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus {-\frac{d}{c}}$.
– Đạo hàm $y’ = \frac{a.d – c.b}{(cx+d)^2}$.
– Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định nếu $y’ > 0$.
– Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nếu $y’ < 0$.
Mức độ: Nhận biết.
Phương pháp giải:
– Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
– Bước 2: Tính đạo hàm $y’$.
– Bước 3: Xét dấu của $y’$. Vì mẫu số $(x-1)^2$ luôn dương, dấu của $y’$ phụ thuộc vào dấu của tử số.
– Bước 4: Dựa vào dấu của $y’$ để kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
– Giải chi tiết:
– Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {1}$.
– Đạo hàm: $y’ = \frac{1.(-1) – 1.2}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$.
– Vì $-3 < 0$ và $(x-1)^2 > 0$ với mọi $x \neq 1$ nên $y’ < 0$ với mọi $x \in D$.
– Vậy, hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.
– So sánh với các đáp án, đáp án B $(1; +\infty)$ là một trong hai khoảng nghịch biến.
– Đáp án đúng: B.
Các câu hỏi tương tự
Câu 1: Hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$ đồng biến trên các khoảng:
A. $\mathbb{R}$.
B. $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
C. $(2;+\infty)$.
D. $(-2;+\infty)$.
*Lời giải*
Tập xác định: $D=\mathbb{R} \setminus {2}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{1.(-2)-1.1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}$.
Vì $y’ < 0$ với mọi $x \neq 2$, hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.
Các đáp án đều sai yêu cầu, ta sửa lại thành nghịch biến.
Câu 1 (Sửa): Hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$ nghịch biến trên các khoảng:
A. $\mathbb{R}$.
B. $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
*C. $(2;+\infty)$.
D. $(-2;+\infty)$.
*Lời giải*
Tập xác định: $D=\mathbb{R} \setminus {2}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{1.(-2)-1.1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2} < 0, \forall x \neq 2$.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.
Đáp án C là một trong các khoảng nghịch biến.
Câu 2: Hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
B. $(-1;+\infty)$.
*C. $(-\infty; -1)$.
D. $(-3;+\infty)$.
*Lời giải*
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {-1}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{2.1-1.3}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(x+1)^2}$.
Vì $y’ < 0$ với mọi $x \neq -1$, hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
Đáp án C là một trong các khoảng nghịch biến.
Câu 3: Cho hàm số $y=\frac{-x+4}{2x-3}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
B. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; \frac{3}{2})$.
C. Hàm số đồng biến trên $(\frac{3}{2}; +\infty)$.
*D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; \frac{3}{2})$ và $(\frac{3}{2}; +\infty)$.
*Lời giải*
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {\frac{3}{2}}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{(-1).(-3)-2.4}{(2x-3)^2} = \frac{3-8}{(2x-3)^2} = \frac{-5}{(2x-3)^2}$.
Vì $y’ < 0$ với mọi $x \neq \frac{3}{2}$, hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; \frac{3}{2})$ và $(\frac{3}{2}; +\infty)$. Câu 4: Hàm số $y=\frac{-2x+1}{x+3}$ đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. $(-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.
B. $(-\infty; -3)$.
C. $(-3;+\infty)$.
*D. Hàm số không đồng biến trên bất kỳ khoảng nào.
*Lời giải*
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {-3}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{(-2).3-1.1}{(x+3)^2} = \frac{-6-1}{(x+3)^2} = \frac{-7}{(x+3)^2}$.
Vì $y’ < 0$ với mọi $x \neq -3$, hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -3)$ và $(-3; +\infty)$.
Do đó, hàm số không đồng biến trên bất kỳ khoảng nào.
Câu 5: Cho hàm số $y=\frac{x-5}{x-2}$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 2)$.
B. Hàm số nghịch biến trên $(2; +\infty)$.
*C. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus {2}$.
D. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} \setminus {2}$.
*Lời giải*
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {2}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{1.(-2)-1.(-5)}{(x-2)^2} = \frac{-2+5}{(x-2)^2} = \frac{3}{(x-2)^2}$.
Vì $y’ > 0$ với mọi $x \neq 2$, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.
Vậy khẳng định sai là “Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus {2}$” vì hàm số chỉ đồng biến trên các khoảng xác định của nó chứ không đồng biến trên cả tập hợp $\mathbb{R} \setminus {2}$.
Câu 6: Hàm số $y=\frac{3x+1}{x-4}$ đồng biến trên các khoảng nào?
*A. $(-\infty; 4)$ và $(4; +\infty)$.
B. $(4;+\infty)$.
C. $\mathbb{R} \setminus {4}$.
D. $(-\infty; 4)$.
*Lời giải*
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {4}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{3.(-4)-1.1}{(x-4)^2} = \frac{-12-1}{(x-4)^2} = \frac{-13}{(x-4)^2}$.
Vì $y’ < 0$ với mọi $x \neq 4$, hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 4)$ và $(4; +\infty)$.
Sửa câu hỏi thành: “Hàm số $y=\frac{3x+1}{x-4}$ nghịch biến trên các khoảng nào?” và đáp án đúng là A.
Câu 6 (Sửa): Hàm số $y=\frac{3x+1}{x-4}$ nghịch biến trên các khoảng nào?
*A. $(-\infty; 4)$ và $(4; +\infty)$.
B. $(4;+\infty)$.
C. $\mathbb{R} \setminus {4}$.
D. $(-\infty; 4)$.
*Lời giải*
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {4}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{3.(-4)-1.1}{(x-4)^2} = \frac{-13}{(x-4)^2} < 0, \forall x \neq 4$.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 4)$ và $(4; +\infty)$.
Câu 7: Cho hàm số $y=\frac{-x-1}{2x+3}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -\frac{3}{2})$ và $(-\frac{3}{2}; +\infty)$.
B. Hàm số nghịch biến trên $(-\frac{3}{2}; +\infty)$.
*C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -\frac{3}{2})$ và $(-\frac{3}{2}; +\infty)$.
D. Hàm số đồng biến trên $(-\frac{3}{2}; +\infty)$.
*Lời giải*
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {-\frac{3}{2}}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{(-1).3 – 2.(-1)}{(2x+3)^2} = \frac{-3+2}{(2x+3)^2} = \frac{-1}{(2x+3)^2}$.
Vì $y’ < 0$ với mọi $x \neq -\frac{3}{2}$, hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -\frac{3}{2})$ và $(-\frac{3}{2}; +\infty)$.
Sửa câu hỏi và đáp án để đúng theo nội dung: “Mệnh đề nào sau đây đúng?”
*A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -\frac{3}{2})$ và $(-\frac{3}{2}; +\infty)$.
B. Hàm số nghịch biến trên $(-\frac{3}{2}; +\infty)$.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -\frac{3}{2})$ và $(-\frac{3}{2}; +\infty)$.
D. Hàm số đồng biến trên $(-\frac{3}{2}; +\infty)$.
*Lời giải*
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {-\frac{3}{2}}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{(-1).3-2.(-1)}{(2x+3)^2} = \frac{-1}{(2x+3)^2} < 0, \forall x \neq -\frac{3}{2}$.
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -\frac{3}{2})$ và $(-\frac{3}{2}; +\infty)$.
Câu 8: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{3-x}$. Mệnh đề nào sau đây là sai?
*A. Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \setminus {3}$.
B. Hàm số đồng biến trên $(3; +\infty)$.
C. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 3)$.
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 3)$ và $(3; +\infty)$.
*Lời giải*
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {3}$.
Hàm số có dạng $y=\frac{x+1}{-x+3}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{1.3 – (-1).1}{(-x+3)^2} = \frac{3+1}{(-x+3)^2} = \frac{4}{(3-x)^2}$.
Vì $y’ > 0$ với mọi $x \neq 3$, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 3)$ và $(3; +\infty)$.
Khẳng định sai là A vì hàm số chỉ đồng biến trên các khoảng xác định, không phải trên cả tập hợp $\mathbb{R} \setminus {3}$.
Câu 9: Hàm số $y=\frac{-x+2}{-x+1}$ nghịch biến trên khoảng nào?
A. $(1;+\infty)$.
B. $(-\infty; 1)$.
C. $\mathbb{R}$.
*D. Không có khoảng nào.
*Lời giải*
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {1}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{(-1).1 – (-1).2}{(-x+1)^2} = \frac{-1+2}{(-x+1)^2} = \frac{1}{(-x+1)^2}$.
Vì $y’ > 0$ với mọi $x \neq 1$, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.
Do đó, hàm số không nghịch biến trên bất kỳ khoảng nào.
Câu 10: Cho hàm số $y=\frac{x-1}{2-x}$. Hỏi hàm số có bao nhiêu khoảng đơn điệu?
A. 0.
B. 1.
*C. 2.
D. 3.
*Lời giải*
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {2}$.
Hàm số có dạng $y=\frac{x-1}{-x+2}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{1.2 – (-1).(-1)}{(-x+2)^2} = \frac{2-1}{(2-x)^2} = \frac{1}{(2-x)^2}$.
Vì $y’ > 0$ với mọi $x \neq 2$, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.
Hàm số có 2 khoảng đơn điệu là $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.