Gọi \(x,\,y\) là các số lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức \(1 + \,{\log _{10y}}x = \,{\log _y}x\) và \(A = \frac{x}{{{y^{11}}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(x.y = {10^k}\). Khi đó \(k\) thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

Gọi \(x,\,y\) là các số lớn hơn 1 thỏa mãn đẳng thức \(1 + \,{\log _{10y}}x = \,{\log _y}x\) và \(A = \frac{x}{{{y^{11}}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(x.y = {10^k}\). Khi đó \(k\) thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

A. \(\left( {10;\,20} \right)\).

B. \(\left( {20;\,25} \right)\).

C. \(\left( {25;\,35} \right)\).

D. \(\left( {30;\,40} \right)\).

Lời giải:

Ta có \(1 + \,{\log _{10y}}x = \,{\log _y}x\, \Leftrightarrow \,1 + \,\frac{{\lg x}}{{\lg 10y}} = \,\frac{{\lg x}}{{\lg y}}\, \Leftrightarrow \,1 + \,\frac{{\lg x}}{{1 + \,\lg y}} = \,\frac{{\lg x}}{{\lg y}}\,\)

\( \Leftrightarrow \,\frac{{1 + \,\lg x + \,\lg y}}{{1 + \,\lg y}} = \,\frac{{\lg x}}{{\lg y}}\, \Leftrightarrow \,\left( {1 + \,\lg x + \,\lg y} \right).\lg y\, = \,\left( {1 + \,\lg y} \right).\,\lg x\)

\( \Leftrightarrow \,\lg y\, + \,{\left( {\lg y} \right)^2} = \,\lg x\)

Mặt khác: \(A = \frac{x}{{{y^{11}}}}\) suy ra: \(\lg A = \,\,\lg x – \lg {y^{11}}\, \Leftrightarrow \,\lg A = \,\lg x – \,11\lg y\)

\(\lg A = \,\lg x – \,11\lg y = \,\left[ {\lg y\, + \,{{\left( {\lg y} \right)}^2}} \right] – \,11\lg y = \,{\left( {\lg y} \right)^2} – \,10\lg y\) \( = \,{\left( {\lg y\, – 5} \right)^2} – \,25\, \ge \, – 25;\)

Suy ra \(A\,\, \ge \,\,{10^{ – 25}};\,\,\min A = \,\,{10^{ – 25}}\) \( \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}\lg y\, = 5\\\lg y\, + \,{\left( {\lg y} \right)^2} = \,\lg x\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}y = \,{10^5}\\\lg x = \,30\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}y = \,{10^5}\\x = \,{10^{30}}\end{array} \right.\,\)\( \Rightarrow \,x.y = {10^{35}} \Rightarrow k = 35\)

Vậy \(k \in \left( {30;\,40} \right)\).

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024