Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = {x^4} – 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 5\) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ \(O\) tạo thành một tứ giác nội tiếp. Tìm tích các phần tử của \(S\).

A. 2.

 B.  \(\frac{1}{5}\).

 C.  \( – \frac{1}{5}\).

 D.  \( – 2\).

Lời giải:

Để hàm số \(y = {x^4} – 2{m^2}{x^2} + {m^4} + 5\) có ba điểm cực trị thì \(y’ = 0\) phải có ba nghiệm phân biệt.

Ta có \(y’ = 4{x^3} – 4{m^2}x = 4x\left( {{x^2} – {m^2}} \right) \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = m\\x =  – m\end{array} \right.,\,\left( {m \ne 0} \right)\)

Ba điểm cực trị là \(A\left( {0;{m^4} + 5} \right),\,B\left( {m;5} \right),\,C\left( { – m;5} \right)\).

Ba điểm \(A,\,B,\,C\) và gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) tạo thành tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi \(\widehat B + \widehat C = \pi \)\( \Leftrightarrow \widehat B = \widehat C = \frac{\pi }{2}\), (do \(\widehat B = \widehat C\))\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BO}  = 0 \Leftrightarrow {m^2} – 5{m^4} = 0 \Leftrightarrow {m^2} = \frac{1}{5}\). Vậy \(S\) có 2 phần tử và có tích bằng \( – \frac{1}{5}\).