Cho hai số thực dương \(a,{\rm{ }}b\) thỏa mãn \(\log _{20}^{}a – \log _8^{}b = 0,\,\log _8^{}b – \log _{125}^{}\left( {5a + 12b} \right) = 0\). Tính \(P = \log _2^{}\left( {a + b} \right) – \log _2^{}b\).
A. \(P = 3\).
B. \(P = 2\).
C. \(P = 2\).
D. \(P = 8\).
Lời giải:
Ta có
\(\begin{array}{l}\log _{20}^{}a – \log _8^{}b = 0 \Leftrightarrow \log _{20}^{}a = \log _8^{}b\\\log _8^{}b – \log _{125}^{}\left( {5a + 12b} \right) = 0 \Leftrightarrow \log _8^{}b = \log _{125}^{}\left( {5a + 12b} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \log _{20}^{}a = \log _8^{}b = \log _{125}^{}\left( {5a + 12b} \right)\)
Đặt \(\log _{20}^{}a = \log _8^{}b = \log _{125}^{}\left( {5a + 12b} \right) = x\)
Có \(\left\{ \begin{array}{l}a = {20^x}\\b = {8^x}\\5a + 12b = {125^x}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{b} = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x}{\rm{ }}(1)\\{5.20^x} + {12.8^x} = {125^x}{\rm{ }}(2)\end{array} \right.\)
(2)\( \Leftrightarrow 5.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} + 12 = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{3x}}\) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^{3x}} – 5.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} – 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\frac{5}{2}} \right)^x} = 3\).
Khi đó \((1) \Leftrightarrow \frac{a}{b} = 3\)
Suy ra \(\frac{{a + b}}{b} = \frac{a}{b} + 1 = 4\).
Lại có \(\log _2^{}\left( {a + b} \right) – \log _2^{}b = \log _2^{}\frac{{a + b}}{b} = \log _2^{}4 = 2\)
===========
Đây là các câu File: Câu 39 GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LOGARIT VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK – 2024.
Trả lời