Câu hỏi:
(THPT Kinh Môn – Hải Dương – 2022) Cho hai số phức \(z,\,{\rm{w}}\) thỏa mãn \(\left| {z + {\rm{w}}} \right| = \sqrt {10} \), \(\left| {2z + {\rm{w}}} \right| = \sqrt {17} \) và \(\left| {\overline z – 3\overline {\rm{w}} } \right| = \sqrt {146} \). Tính giá trị của biểu thức \(P = z.\overline {\rm{w}} + \overline z {\rm{.w}}\).
A. \(P = – 14\).
B. \(P = 14\).
C. \(P = 16\).
D. \(P = – 8\).
Lời giải:
Chọn D
Gọi \(z = a + bi\) và \({\rm{w}} = x + yi\) với \(a,b,x,y \in \mathbb{R}\).
Theo đề ta có:
\(\left| {z + {\rm{w}}} \right| = \sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow {\left( {a + x} \right)^2} + {\left( {b + y} \right)^2} = 10\)\( \Leftrightarrow {a^2} + 2ax + {x^2} + {b^2} + 2by + {y^2} = 10\,\,(1)\)
\(\left| {2z + {\rm{w}}} \right| = \sqrt {17} \)\( \Leftrightarrow {\left( {2a + x} \right)^2} + {\left( {2b + y} \right)^2} = 17\)\( \Leftrightarrow 4{a^2} + 4ax + {x^2} + 4{b^2} + 4by + {y^2} = 17\,\,(2)\)
\(\left| {\overline z – 3\overline {\rm{w}} } \right| = \sqrt {146} \)\( \Leftrightarrow {\left( {a – 3x} \right)^2} + {\left( {b – 3y} \right)^2} = 146\)\( \Leftrightarrow {a^2} – 6ax + 9{x^2} + {b^2} – 6by + 9{y^2} = 146\,\,(3)\)
Lấy \(35.(1) – 8.(2) – 3.(3)\) vế theo vế ta được:
\(56.ax + 56.by = – 224\)\( \Leftrightarrow ax + by = – 4\)
Ta có \(P = z.\overline {\rm{w}} + \overline z {\rm{.w = }}\left( {a + bi} \right).\left( {x – yi} \right) + {\rm{ }}\left( {a – bi} \right).\left( {x + yi} \right)\)\( = 2.ax + 2.by = – 8\)
Cách 2:
\(\left| {z + {\rm{w}}} \right| = \sqrt {10} \)\( \Leftrightarrow {\left| {z + {\rm{w}}} \right|^2} = 10\)\( \Leftrightarrow \left( {z + {\rm{w}}} \right)\left( {\overline {z + {\rm{w}}} } \right) = 10\)
\( \Leftrightarrow \left( {z + {\rm{w}}} \right)\left( {\overline z + \overline {\rm{w}} } \right) = 10\)\( \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} + P + {\left| w \right|^2} = 10 & \left( 1 \right)\)
Tương tự
\(\left| {2z + {\rm{w}}} \right| = \sqrt {17} \)\( \Leftrightarrow 4{\left| z \right|^2} + 2P + {\left| w \right|^2} = 17 & \left( 2 \right)\)
\(\left| {\overline z – 3\overline {\rm{w}} } \right| = \sqrt {146} \)\( \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} – 3P + 9{\left| w \right|^2} = 146 & \left( 3 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| z \right|^2} = 5\\P = – 8\\{\left| w \right|^2} = 13\end{array} \right.\).
Vậy \(P = – 8\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời