Câu hỏi:
(THPT Nho Quan A – Ninh Bình – 2022) Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} + 2mz – m + 12 = 0\) ( \(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 \left| {{z_1} – {z_2}} \right|?\)
A. \(1.\)
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải:
Phương trình đã cho có \(\Delta \prime = {m^2} + m – 12\).
Trường hợp 1: \(\Delta \prime > 0 \Leftrightarrow {m^2} + m – 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < – 4}\\{m > 3}\end{array}} \right.\).
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm thực \({z_1},{z_2}\) phân biệt.
Do đó, \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\) \( \Leftrightarrow {\left( {\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|} \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 \left| {{z_1} – {z_2}} \right|} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow z_1^2 + z_2^2 + 2\left| {{z_1}{z_2}} \right| = 2\left( {z_1^2 + z_2^2 – 2{z_1}{z_2}} \right)\) \( \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} – 2{z_1}{z_2} + 2\left| {{z_1}{z_2}} \right| = 2\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} – 4{z_1}{z_2}} \right]\) \( \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} – 6{z_1}{z_2} – 2\left| {{z_1}{z_2}} \right| = 0\) \( \Leftrightarrow 4{m^2} – 6( – m + 12) – 2| – m + 12| = 0(*)\) Nếu \(m < – 4\) hoặc \(3 < m < 12\) thì \((*) \Leftrightarrow 4{m^2} – 8( – m + 12) = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m – 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = – 6}\\{m = 4}\end{array}.} \right.\)
Nếu \(m \ge 12\) thì \((*) \Leftrightarrow 4{m^2} – 4( – m + 12) = 0 \Leftrightarrow {m^2} + m – 12 = 0\) (không thỏa mãn).
Trường hợp 2: \(\Delta \prime < 0 \Leftrightarrow {m^2} + m – 12 < 0 \Leftrightarrow – 4 < m < 3\).
Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({z_1},{z_2}\) là hai số phức liên hợp:
\( – m + i\sqrt { – {m^2} – m + 12} {\rm{ v\`a }} – m – i\sqrt { – {m^2} – m + 12} {\rm{. }}\)\(\)
Do đó, \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = \sqrt 2 \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\)
\( \Leftrightarrow 2\sqrt {{m^2} + \left( { – {m^2} – m + 12} \right)} = 2\sqrt { – {m^2} – m + 12} \Leftrightarrow – m + 12 = – {m^2} – m + 12 \Leftrightarrow m = 0{\rm{ }}\)(thỏa mãn)\(\)
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn đề bài.
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời