(THPT Yên Lạc – Vĩnh Phúc – 2022) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(2{\log _3}\left( {2x – 1} \right) = {\log _3}\left( {m{x^2} + 1} \right)\) có nghiệm.

A. \(1\).

B. \(3\).

C. \(7\).

D. \(9\).

Lời giải:

Chọn C

Điều kiện xác định \(x > \frac{1}{2}\)

Với điều kiện trên, \(2{\log _3}\left( {2x – 1} \right) = {\log _3}\left( {m{x^2} + 1} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {2x – 1} \right)^2} = {\log _3}\left( {m{x^2} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4{x^2} – 4x + 1 = m{x^2} + 1\)

\( \Leftrightarrow 4 – \frac{4}{x} = m\) (*)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 4 – \frac{4}{x}\) với \(x > \frac{1}{2}\).

Ta có \(f’\left( x \right) = \frac{4}{{{x^2}}} > 0,\,\,\,\forall x > \frac{1}{2}\)

Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right) = 4 – \frac{4}{x}\)

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình đã cho có nghiệm \( \Leftrightarrow – 4 < m < 4\).

Vậy có \(7\) giá trị nguyên của tham số \(m\).