(THPT Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình – 2022) Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ {0\,;\,20} \right]\) để hàm số \(g(x) = \left| {{f^2}\left( x \right) – 2f\left( x \right) – m} \right|\) có \(9\) điểm cực trị?
A. \(8\).
B. \(9\).
C. \(10\).
D. \(11\).
Lời giải:
Chọn A
Đặt \(h(x) = {f^2}\left( x \right) – 2f\left( x \right) – m\)\( \Rightarrow g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|\).
\(h'(x) = 2.f\left( x \right)f’\left( x \right) – 2f’\left( x \right) = 2.f’\left( x \right)\left[ {f\left( x \right) – 1} \right]\).
\(h'(x) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f’\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\,\\x = 1\\x = a \in \left( { – 2\,;\, – 1} \right)\\x = b \in \left( {0\,;\,1} \right)\\x = c \in \left( {1\,;\, + \infty } \right)\end{array} \right.\)
Ta có \(f\left( 1 \right) = 0\), \(f\left( { – 1} \right) = 4\), \(f\left( a \right) = f\left( b \right) = f\left( c \right) = 1\).
\( \Rightarrow h\left( a \right) = h\left( b \right) = h\left( c \right) = – 1 – m\), \(h\left( 1 \right) = – m\), \(h\left( { – 1} \right) = 8 – m\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f\left( x \right) = – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {f^2}\left( x \right)\left[ {1 – \frac{2}{{f\left( x \right)}} – \frac{m}{{{f^2}\left( x \right)}}} \right] = + \infty \).
Ta có BBT của \(y = h\left( x \right)\):
Dựa vào BBT ta thấy hàm số \(y = h\left( x \right)\) có 5 cực trị.
Hàm số \(y = g(x)\) có \(9\) điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right)\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt hoặc điểm \(\left( {1;\, – m} \right)\) nằm trên trục hoành.
\( \Leftrightarrow – m \le 0 < 8 – m \Leftrightarrow 0 \le m < 8\).
Với \(m\) là số nguyên thì \(m \in \left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7} \right\}\).
Suy ra có \(8\) giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Trả lời