Câu hỏi:
(THPT Kim Liên – Hà Nội – 2022) Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(f’\left( x \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {x – 4} \right)\). Tính tổng các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 10;5} \right]\) để hàm số \(y = f\left( {\left| {{x^2} – 3x + m} \right|} \right)\) có nhiều điểm cực trị nhất?
A. \(54\).
B. \(9\).
C. \( – 52\).
D. \( – 54\).
Lời giải:
Chọn D
Theo bài: \(y = f\left( {\left| {{x^2} – 3x + m} \right|} \right) = f\left( {\sqrt {{{\left( {{x^2} – 3x + m} \right)}^2}} } \right)\).
Ta có \(y’ = \frac{1}{{2\sqrt {{{\left( {{x^2} – 3x + m} \right)}^2}} }}\left( {2x – 3} \right)f’\left( {\sqrt {{{\left( {{x^2} – 3x + m} \right)}^2}} } \right) = \frac{{\left( {2x – 3} \right)}}{{2\left| {{x^2} – 3x + m} \right|}}f’\left( {\left| {{x^2} – 3x + m} \right|} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x – 3 = 0\\f’\left( {\left| {{x^2} – 3x + m} \right|} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\\left| {{x^2} – 3x + m} \right| = – 3{\rm{ }}\left( {{\rm{v\^o l\’i }}} \right)\\\left| {{x^2} – 3x + m} \right| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\{x^2} – 3x + m = 4{\rm{ }}\\{x^2} – 3x + m = – 4{\rm{ }}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\{\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{25}}{4} – m{\rm{ }}\left( 1 \right){\rm{ }}\\{\left( {x – \frac{3}{2}} \right)^2} = – \frac{7}{4} – m{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\).
Để hàm số \(y = f\left( {\left| {{x^2} – 3x + m} \right|} \right)\) có nhiều điểm cực trị nhất thì phương trình \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) có nhiều nghiệm nhất\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{25}}{4} – m > 0\\ – \frac{7}{4} – m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < \frac{{25}}{4}\\m < – \frac{7}{4}\end{array} \right. \Rightarrow m < – \frac{7}{4}\).
Mặt khác \(m\) nguyên và \(m \in \left[ { – 10;5} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { – 10; – 9; – 8; – 7; – 6; – 5; – 4; – 3; – 2} \right\}\).
Vậy tổng các giá trị của \(m\)bằng \( – 54\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm VDC Hàm số
Trả lời