(Sở Thanh Hóa 2022) Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đổ thị như hình vẽ:
Xét \(T = 103f\left( {{a^2} + a + 1} \right) + 234f(af(b) + bf(a)),(a,b \in \mathbb{R})\). Biết \(T\) có giá trị lónn nhát bằng \(M\) đạt tại \(m\) cặp \((a;b)\), khi đó \(\frac{M}{m}\) bằng
A. \(\frac{{1011}}{4}\).
B. \(\frac{{1011}}{8}\).
C. \(\frac{{337}}{2}\).
D. \(\frac{{674}}{3}\).
Lời giải:
Quan sát đồ thị đã cho ta có \({\max _\mathbb{R}}f(x) = f(3) = 6\).
\(\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}\max f\left( {{a^2} + a + 1} \right) = 6\\\max f(af(b) + bf(a)) = 6\end{array}\end{array} \Rightarrow {T_{\max }} = (103 + 234) \times 6 = 2022} \right.{\rm{. }}\)\(\)
Dấu bằng đạt tại \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{{a^2} + a + 1 = 3}\\{af(b) + bf(a) = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(b) = 3 – bf(1) = 3 \Rightarrow {\bf{4}}{{\bf{n}}_0}}\\{a = – 2}\end{array}} \right.}\\{f(b) = \frac{{3 – bf( – 2)}}{{ – 2}} = – \frac{3}{2} \Rightarrow 4{{\bf{n}}_0}}\end{array},,(f(1) = f( – 2) = 0)} \right.} \right.} \right.\) tức có 8 cặp \((a;b)\).
Vậy \(\frac{M}{m} = \frac{{2022}}{8} = \frac{{1011}}{4}\).
Trả lời