(Chuyên Vinh – 2022) Cho hàm số đa thức bậc bốn \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên.

Có bao nhiêu số nguyên \(a\) để phương trình \(f\left( {\left| {{x^2} – 4x} \right| – 3} \right) = a\) có không ít hơn 10 nghiệm thực phân biệt?

A. 4.

B. 6.

C. 2.

D. 8.

Lời giải:

Chọn A

Đạtt \(t = \left| {{x^2} – 4x} \right| – 3;\) ta có \(t\prime (x) = \frac{{{x^2} – 4x}}{{\left| {{x^2} – 4x} \right|}} \cdot (2x – 4);t\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – 4x = 0}\\{2x – 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0;4}\\{x = 2}\end{array}} \right.} \right.\).

Bảng biến thiên

Nhận thấy: – Với \(t < – 3\) thì vô nghiệm \(x\).

– Với \(t = – 3\) thì có 2 nghiệm \(x\).

– Vói \(t \in ( – 3;1)\) thì có 4 nghiệm \(x\).

– Với \(t = 1\) thì có 3 nghiệm \(x\).

– Với \(t > 1\) thì có 2 nghiệm \(x\).

Khi đó ta có phương trình \(f(t) = a\) (1). Từ đồ thị hàm số \(f(x)\) ta có

+ Nếu \(a < – 2\) thì (1) có 2 nghiệm phân biệt \(t > 1\) hoặc vô nghiệm \( \Rightarrow \) Phương trình đã cho có số nghiệm không lớn hơn 4.

+ Nếu \(a = – 2\) thì (1) có 3 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm \(t \in ( – 3;0)\) và có 2 nghiệm

\(t > 1\). \( \Rightarrow \) Phương trình đã cho có 8 nghiệm.

\( + \) Nếu \(a \in ( – 2;0)\) thì (1) có 4 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm \(t \in ( – 3;1)\) và 2 nghiệm

\(t > 1 \Rightarrow \) Phương trình đã cho có 12 nghiệm phân biệt.

+ Nếu \(a = 0\) thì (1) có 4 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm \(t \in ( – 3;1)\) và 1 nghiệm \(t > 1\)

và nghiệm \(t = 1;t = – 3 \Rightarrow \) Phương trình đã cho có 11 nghiệm phân biệt.

+ Nếu \(a \in (0;2]\) thì (1) có 4 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm \(t \in ( – 3;1)\) và 1 nghiệm

\(t < – 3\) và 1 nghiệm \(t > 1 \Rightarrow \) Phương trình đã cho có 10 nghiệm phân biệt.

\( + \) Nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 2}\\{a \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right.\) thì (1) có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm \(t < – 3\) và 1 nghiệm \(t > 1\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy với \( – 2 < a \le 2\) thì phương trình đã cho có không it hơn 10 nghiệm thực phân biệt, do đó có 4 số nguyên \(a\) cần tìm.