Câu hỏi:
Xét hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thay đổi thỏa mãn \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \left| {{z_1} + {z_2} – 1 – 2i} \right| = 4\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \({\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\). Giá trị của biểu thức \(M + m\) là
A. \(8\sqrt 5 \).
B. \( – 37\).
C. \(4\sqrt 5 \).
D. \(37\).
Lời giải
Gọi \(A,B,C\left( {1;2} \right)\) lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức: \({z_1},{z_2},1 + 2i\).
\(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 4 \Leftrightarrow AB = 4\)
\(\left| {{z_1} + {z_2} – 1 – 2i} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} – \overrightarrow {OC} } \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {OM} – 2\overrightarrow {OI} } \right| = 4\) với \(M\) là trung điểm của \(AB\), \(I\) là trung điểm của \(OC\).
Suy ra \(IM = 2\) và \(I\left( {\frac{1}{2};1} \right)\).
Xét \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} = O{A^2} + O{B^2} = {\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} } \right)^2}\)\( = 2O{M^2} + M{A^2} + M{B^2}\)
\( = 2O{M^2} + 8\).
Mặt khác, \(M\) thuộc đường tròn tâm \(I\), bán kính bằng 2.
Do điểm \(O\) ở bên trong đường tròn nên giá trị lớn nhất của \(OM\) bằng \(IM + OI = 2 + \frac{{\sqrt 5 }}{2}\) và giá trị nhỏ nhất của \(OM\) bằng \(IM – OI = 2 – \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
Suy ra \(\max P = 2{\left( {2 + \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} + 8 = \frac{{37 + 8\sqrt 5 }}{2}\) và \(\min P = 2{\left( {2 – \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^2} + 8 = \frac{{37 – 8\sqrt 5 }}{2}\).
Vậy \(M = \frac{{37 + 8\sqrt 5 }}{2}\), \(m = \frac{{37 – 8\sqrt 5 }}{2}\) và \(M + m = 37\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời