Giả sử\({z_1},{z_2}\)là hai trong các số phức thỏa mãn\(\left( {6 – z} \right)\left( {8i + \overline z } \right)\)là số thuần ảo. Biết rằng \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 4\), giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|\)bằng
A. \(20 – 4\sqrt {22} \).
B. \(5 – \sqrt {21} \).
C. \(20 – 4\sqrt {21} \).
D. \(5 – \sqrt {22} \).
Lời giải
Giả sử\(z = x + yi\), \(x,y \in \mathbb{R}\).Gọi \(A,B\)lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức \({z_1},{z_2}\). Suy ra \(AB = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 4\).
* Ta có \(\left( {6 – z} \right)\left( {8i + \overline z } \right)\)\( = \left[ {\left( {6 – x} \right) – yi} \right].\left[ {\left( {8 – y} \right)i + x} \right]\)\( = \left( {48 – 6y – 8x} \right)i – \left( {{x^2} + {y^2} – 6x – 8y} \right)\). Theo giả thiết \(\left( {6 – z} \right)\left( {8i + \overline z } \right)\)là số thuần ảo nên ta suy ra \({x^2} + {y^2} – 6x – 8y = 0\). Tức là các điểm \(A,B\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\)tâm \(I\left( {3;4} \right)\), bán kính \(R = 5\).
* Xét điểm \(M\) thuộc đoạn \(AB\)thỏa \(\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} = 4\overrightarrow {OM} \).Gọi \(H\)là trung điểm \(AB\). Ta tính được\(H{I^2} = {R^2} – H{B^2} = 21;IM = \sqrt {H{I^2} + H{M^2}} = \sqrt {22} \), suy ra điểm \(M\) thuộc đường tròn \(\left( {C’} \right)\)tâm \(I\left( {3;4} \right)\), bán kính \(r = \sqrt {22} \).
* Ta có \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + 3\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {4\overrightarrow {OM} } \right| = 4OM\), do đó \(\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|\)nhỏ nhất khi \(OM\)nhỏ nhất.
Ta có \({\left( {OM} \right)_{\min }} = O{M_0} = \left| {OI – r} \right| = 5 – \sqrt {22} \).
Vậy \({\left| {{z_1} + 3{z_2}} \right|_{\min }} = 4O{M_0} = 20 – 4\sqrt {22} \).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời