Câu hỏi:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z – 1 + 2i} \right| = 3\). Xét các số phức \({z_1},\,{z_2}\, \in \,S\) sao cho \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1.\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(P = {\left| {{z_1} + 3} \right|^2} – {\left| {{z_2} + 3} \right|^2}.\) Giá trị của biểu thức \(2M – 3m\) bằng
A. \( – 4\sqrt 5 .\)
B. \(2\sqrt 5 .\)
C. \(20\sqrt 5 .\)
D. \(0.\)
Lời giải
Giả sử \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,y\, \in \,\mathbb{R}} \right) \Rightarrow \) điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức \(z.\)
Ta có: \(\left| {z – 1 + 2i} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {x + yi – 1 + 2i} \right| = 3 \Leftrightarrow \left| {\left( {x – 1} \right) + \left( {y + 2} \right)i} \right| = 3\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} = 3 \Leftrightarrow IM = 3\)với \(I\left( {1; – 2} \right).\)
Gọi hai điểm \(E\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,F\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) lần lượt biểu diễn hai số phức \({z_1},\,{z_2}\, \in \,S\)
Ta có: \(IE = IF = 3;EF = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1.\)
Gọi \(A\left( { – 3;0} \right)\), ta có \(IA = 2\sqrt {5.} \)
\(P = {\left| {{z_1} + 3} \right|^2} – {\left| {{z_2} + 3} \right|^2} = \left[ {{{\left( {{x_1} + 3} \right)}^2} + y_1^2} \right] – \left[ {{{\left( {{x_2} + 3} \right)}^2} + y_2^2} \right] = A{E^2} – A{F^2}\)
\(\,\,\,\, = {\left( {\overrightarrow {IE} – \overrightarrow {IA} } \right)^2} – {\left( {\overrightarrow {IF} – \overrightarrow {IA} } \right)^2} = I{E^2} – I{F^2} – 2\overrightarrow {IA} \left( {\overrightarrow {IE} – \overrightarrow {IF} } \right) = 2\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {EF} \)
\( = 2IA.EF.\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {EF} } \right) = 4\sqrt 5 .\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {EF} } \right)\).
\(\max P = 4\sqrt 5 \Leftrightarrow \)\(\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {EF} } \right) = 1 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} ,\,\overrightarrow {EF} \) cùng hướng.
\(\min P = – 4\sqrt 5 \Leftrightarrow \)\(\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {EF} } \right) = – 1 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} ,\,\overrightarrow {EF} \) ngược hướng.
Vậy: \(M = 4\sqrt 5 ;\,\,m = – 4\sqrt 5 \Rightarrow 2M – 3m = 20\sqrt 5 .\)
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời