Câu hỏi:
Cho \({z_1},\)\({z_2}\) là hai số phức thỏa mãn \(\left| {iz – 1 + i} \right| = 2\) và \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt 2 \). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1} + {z_2} + 1 + 2i} \right|\) có dạng \(a + \sqrt b \). Khi đó \({a^2} + b\) có giá trị là
A. \(18\).
B. \(15\).
C. \(19\).
D. \(17\).
Lời giải
Đặt \(w = iz – 1 + i \Rightarrow \left| w \right| = 2\). Với \({w_1} = i{z_1} – 1 + i\,\); \({w_2} = i{z_2} – 1 + i\,\) thì \(\left| {{w_1}} \right| = 2\); \(\left| {{w_2}} \right| = 2\).
Ta có: \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {i\left( {{z_1} – {z_2}} \right)} \right| = \sqrt 2 \left| i \right| \Leftrightarrow \left| {{w_1} – {w_2}} \right| = \sqrt 2 \).
Mặt khác, \({\left| {{w_1} – {w_2}} \right|^2} + {\left| {{w_1} + {w_2}} \right|^2} = \left( {{w_1} – {w_2}} \right)\overline {\left( {{w_1} – {w_2}} \right)} + \left( {{w_1} + {w_2}} \right)\overline {\left( {{w_1} + {w_2}} \right)} \)
\( = \left( {{w_1} – {w_2}} \right)\left( {\overline {{w_1}} – \overline {{w_2}} } \right) + \left( {{w_1} + {w_2}} \right)\left( {\overline {{w_1}} + \overline {{w_2}} } \right) = 2\left( {{w_1}.\overline {{w_1}} + {w_2}.\overline {{w_2}} } \right) = 2\left( {{{\left| {{w_1}} \right|}^2} + {{\left| {{w_2}} \right|}^2}} \right)\).
Do đó \({\left| {{w_1} + {w_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{w_1}} \right|}^2} + {{\left| {{w_2}} \right|}^2}} \right) – {\left| {{w_1} – {w_2}} \right|^2} \Rightarrow \left| {{w_1} + {w_2}} \right| = \sqrt {14} .\)
Ta có \(P = \left| {{z_1} + {z_2} + 1 + 2i} \right| = \left| i \right|.\left| {{z_1} + {z_2} + 1 + 2i} \right| = \left| {i{z_1} + i{z_2} – 2 + i} \right|\)\( = \left| {{w_1} + 1 – i + {w_2} + 1 – i – 2 + i} \right| = \left| {{w_1} + {w_2} – i} \right|\).
Lại có: \(P = \left| {{w_1} + {w_2} – i} \right| \le \left| {{w_1} + {w_2}} \right| + \left| i \right| \Leftrightarrow P \le \sqrt {14} + 1\).
Suy ra \({\rm{max}}P = 1 + \sqrt {14} \). Do đó \(a = 1\), \(b = 14\).
Vậy \({a^2} + b = 15\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời