Gọi \(S\)là tập hợp tất cả các số phức \(z\) sao cho số phức \(w = \frac{1}{{\left| z \right| – z}}\) có phần thực bằng \(\frac{1}{8}\). Xét các số phức \(z\, \in \,S\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = {\left| {z – 2} \right|^2} + {\left| {z + 2i} \right|^2}\) bằng
A. \(16\).
B. \(40 – 16\sqrt 2 \).
C. \(40 + 16\sqrt 2 \).
D. \(32\).
Lời giải
Giả sử \(z = x + yi\,\left( {x,\,y\, \in \,\mathbb{R}} \right)\).
Với điều kiện \(\left| z \right| – z \ne 0 \Rightarrow y \ne 0\), ta có:
\(w = \frac{1}{{\left| z \right| – z}} = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} – \left( {x + yi} \right)}} = \frac{1}{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} – x} \right) – yi}} = \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} – x} \right) + yi}}{{{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} – x} \right)}^2} + {y^2}}}\)
\( = \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} – x} \right) + yi}}{{2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) – 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} – x} \right) + yi}}{{2\sqrt {{x^2} + {y^2}} \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} – x} \right)}}\)
\( = \frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} + \frac{y}{{2\sqrt {{x^2} + {y^2}} \left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} – x} \right)}}i\).
Do \(w\) có phần thực bằng \(\frac{1}{8}\) nên \(\frac{1}{{2\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 4 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 16\).
Vậy điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) thuộc đường tròn \({x^2} + {y^2} = 16\). Bán kính đường tròn là \(R = 4.\)
Gọi \(A,B\) là điểm biểu diễn hai số phức \(2, – 2i\). Ta có \(A\left( {2;0} \right),\,B\left( {0; – 2} \right),\,AB = 2\sqrt 2 \).
\(P = {\left| {z – 2} \right|^2} + {\left| {z + 2i} \right|^2} = M{A^2} + M{B^2} = 2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2} = 2M{I^2} + 4\), trong đó \(I\) là trung điểm \(AB\) và \(I\left( {1; – 1} \right)\).
\(P \ge 2{\left( {R – OI} \right)^2} + 4 = 2{\left( {4 – \sqrt 2 } \right)^2} + 4 = 40 – 16\sqrt 2 \).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_2}\left( {2\sqrt 2 ; – 2\sqrt 2 } \right)\)
Vậy \({P_{\min }} = 40 – 16\sqrt 2 \) tại \(z = 2\sqrt 2 – 2\sqrt 2 i\)
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời