Câu hỏi:
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z \notin \mathbb{R}\) sao cho số phức \(w = \frac{z}{{{z^2} + 4}}\) là số thực. Xét các số phức \({z_1},{z_2}\) thuộc \(S\) sao cho \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 2\). Giá trị lớn nhất của \({\left| {{z_1} – 2 – 2i} \right|^2} – {\left| {{z_2} – 2 – 2i} \right|^2}\) bằng
A. \(8\sqrt 2 \).
B. \(4\sqrt 2 \).
C. \(16\).
D. \(6\sqrt 2 \).
Lời giải
Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R};b \ne 0} \right),z \ne \pm 2i\).
Vì \(w \ne 0\)nên \(w \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \frac{1}{w} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow z + \frac{4}{z} \in \mathbb{R}\). Mà\(a + bi + \frac{{4\left( {a – bi} \right)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \left( {a + \frac{{4a}}{{{a^2} + {b^2}}}} \right) + b\left( {1 – \frac{4}{{{a^2} + {b^2}}}} \right)i\)
Suy ra \(z + \frac{4}{z} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 4\) .
Gọi \(A,B\) lần lượt là điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2}\) và gọi \(M\left( {2;2} \right)\).
Khi đó \(A,B\) thuộc đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\), bán kính bằng 2 và \(AB = 2\)(\(A,B\) khác các điểm \(\left( {2;0} \right),\left( { – 2;0} \right),\left( {0;2} \right),\left( {0; – 2} \right)\)).
Ta có \({\left| {{z_1} – 2 – 2i} \right|^2} – {\left| {{z_2} – 2 – 2i} \right|^2} = M{A^2} – M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} – {\overrightarrow {MB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2} – {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)^2}\)
\( = 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {BA} = 2.MO.BA.\cos (\overrightarrow {MO} ,\overrightarrow {BA} ) \le 8\sqrt 2 \). Dấu bằng xảy ra khi \(\overrightarrow {BA} \) cùng hướng \(\overrightarrow {MO} \).
Vậy giá trị lớn nhất của \({\left| {{z_1} – 2 – 2i} \right|^2} – {\left| {{z_2} – 2 – 2i} \right|^2}\) bằng \(8\sqrt 2 \).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời