76: Tính \(G = \int {\frac{{2{x^2} + \left( {1 + 2\ln x} \right).x + {{\ln }^2}x}}{{{{\left( {{x^2} + x\ln x} \right)}^2}}}} {\rm{d}}x\).

Câu hỏi:

76: Tính \(G = \int {\frac{{2{x^2} + \left( {1 + 2\ln x} \right).x + {{\ln }^2}x}}{{{{\left( {{x^2} + x\ln x} \right)}^2}}}} {\rm{d}}x\).

A. \(G = \frac{{ – 1}}{x} – \frac{1}{{x + \ln x}} + C\).

B. \(G =  – \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + \ln x}} + C\).

C. \(G = \frac{1}{x} – \frac{1}{{x + \ln x}} + C\).

D. \(G = \frac{1}{x} + \frac{1}{{x + \ln x}} + C\).

Lời giải

Ta có:

\(G = \int {\frac{{2{x^2} + \left( {1 + 2\ln x} \right).x + {{\ln }^2}x}}{{{{\left( {{x^2} + x\ln x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} \)\( = \int {\frac{{\left[ {{x^2} + 2x\ln x + {{\ln }^2}x} \right] + x + {x^2}}}{{{x^2}{{\left( {x + \ln x} \right)}^2}}}} {\rm{d}}x\)\( = \int {\frac{{{{\left( {x + \ln x} \right)}^2} + x\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}{{\left( {x + \ln x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} \)

\( = \int {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{{x + 1}}{{x{{\left( {x + \ln x} \right)}^2}}}} \right){\rm{d}}x = } \)\(\int {\frac{1}{{{x^2}}}} {\rm{d}}x + \int {\frac{{x + 1}}{{x{{\left( {x + \ln x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} \), đặt \(\,J = \int {\frac{{x + 1}}{{x{{\left( {x + \ln x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} \)

Xét nguyên hàm: \(J = \int {\frac{{x + 1}}{{x{{\left( {x + \ln x} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} \)

+ Đặt: \(t = x + \ln x \Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {1 + \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x = \frac{{x + 1}}{x}{\rm{d}}x\)

\( \Rightarrow J = \int {\frac{1}{{{t^2}}}{\rm{d}}t = \frac{{ – 1}}{t} + C}  = \frac{{ – 1}}{{x + \ln x}} + C\)

Do đó: \(G = \frac{{ – 1}}{x} – \frac{1}{{x + \ln x}} + C\)

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân