37. Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)^2}{{\rm{e}}^{2x}}\) thỏa mãn \(F\left( {\ln 2} \right) = \frac{1}{4}\). Tìm \(F\left( x \right)\).

Câu hỏi:

37. Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)^2}{{\rm{e}}^{2x}}\) thỏa mãn \(F\left( {\ln 2} \right) = \frac{1}{4}\). Tìm \(F\left( x \right)\).

A. \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}{\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)^4} – \frac{1}{3}{\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)^3} + 11\).

B. \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}{\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)^4} + \frac{1}{3}{\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)^3} – 11\).

C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}{\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)^4} + \frac{1}{3}{\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)^3} + 11\).

D. \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}{\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)^4} – \frac{1}{3}{\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)^3} – 11\).

Lời giải

Đặt \(u = {{\rm{e}}^x} + 1 \Rightarrow {\rm{du}} = {{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x\).

Khi đó \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {{{\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)}^2}{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} \) \( = \int {{{\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)}^2}{{\rm{e}}^x}{\rm{.}}{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} \)

\( = \int {{u^2}\left( {u – 1} \right){\rm{d}}} u = \int {\left( {{u^3} – {u^2}} \right){\rm{d}}} u = \frac{1}{4}{u^4} – \frac{1}{3}{u^3} + C = \frac{1}{4}{\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)^4} – \frac{1}{3}{\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)^3} + C\).

Lại có \(F\left( {\ln 2} \right) = \frac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{4}{\left( {{{\rm{e}}^{\ln 2}} + 1} \right)^4} – \frac{1}{3}{\left( {{{\rm{e}}^{\ln 2}} + 1} \right)^3} + C = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{{81}}{4} – 9 + C = \frac{1}{4} \Leftrightarrow C =  – 11\).

Vậy \(F\left( x \right) = \frac{1}{4}{\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)^4} – \frac{1}{3}{\left( {{{\rm{e}}^x} + 1} \right)^3} – 11\).

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân