53. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos x\sqrt {\sin x + 1} \)?

Câu hỏi:

53. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos x\sqrt {\sin x + 1} \)?

A. \(F(x) = \frac{{1 – 2\sin x – 3{{\sin }^2}x}}{{2\sqrt {\sin x + 1} }}\).

B. \(F(x) = \frac{2}{3}\left( {\sin x + 1} \right)\sqrt {\sin x + 1} \).

C. \(F(x) = \frac{1}{3}\left( {\sin x + 1} \right)\sqrt {\sin x + 1} \).

D. \(F(x) = \frac{1}{3}\sin x\sqrt {\sin x + 1} \).

Lời giải

Đặt \(t = \sqrt {\sin x + 1} \) \( \Rightarrow {t^2} = \sin x + 1\)\( \Rightarrow 2t{\rm{d}}t = \cos x{\rm{d}}x\) .

Khi đó \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int {\cos x\sqrt {\sin x + 1} {\rm{d}}x} \)\( = \int {2{t^2}{\rm{d}}t}  = \frac{{2{t^3}}}{3} + C\)\( = \frac{2}{3}\left( {\sin x + 1} \right)\sqrt {\sin x + 1}  + C\).

Vậy \(F(x) = \frac{2}{3}\left( {\sin x + 1} \right)\sqrt {\sin x + 1} \) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos x\sqrt {\sin x + 1} \).

Đáp án 

B. 

====================
Thuộc chủ đề:  Trắc nghiệm Tích phân